2023-2024学年贵州省遵义市八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年贵州省遵义市八年级上学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）现有两根长度分别为4cm和7cm的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A．3cmB．6cmC．11cmD．13cm
3．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000049．将数据0.000049用科学记数法表示为（ ）
A．4.9×10﹣5B．4.9×10﹣6C．0.49×10﹣6D．49×10﹣6
4．（3分）化简：的结果是（ ）
A．B．1C．2D．0
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．（a2）3＝a5C．a2•a3＝a5D．a6÷a2＝a3
6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和还大180°，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
7．（3分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A．∠1＝∠2B．∠B＝∠DC．∠C＝∠ED．∠BAC＝∠DAC
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，沿BD折叠△BCD，使点C恰好落在边AB上点E处，若∠A＝20°，则∠ADE的度数为（ ）
A．70°B．60°C．55°D．50°
9．（3分）如图，已知∠AOB，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；（3）画射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．这样画出OP的依据是（ ）
A．SAS，全等三角形对应角相等
B．ASA，全等三角形对应角相等
C．SSS，全等三角形对应角相等
D．AAS，全等三角形对应角相等
10．（3分）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（3分）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请用黑色墨水笔或黑色签字笔将答案写在答颗卡上相应的位置．)
13．（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是 ．
14．（4分）已知x﹣y＝4，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
16．（4分）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝ ．
三、解答题（本题共9小题，共98分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（10分）先化简再求值（x+1﹣）÷，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
19．（10分）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ACB≌△BED；
（2）求两堵木墙之间的距离．
20．（10分）图①，图②都是边长为1的3×3正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与线段AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称（A、B的对应点分别为M、N），且M、N均为格点．
（2）在图②中，画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于直线EF对称（A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1且A1、B1、C1均为格点），再求出△A1B1C1的面积．
21．（10分）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
22．（10分）遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
24．（12分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：将“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将“m”还原为“x2﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D，连接CD．
（1）【观察发现】
如图①，∠DAC与∠DBC的数量关系是 ；
（2）【尝试探究】
点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数；
（3）【深入思考】
如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系．
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．)
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．（3分）现有两根长度分别为4cm和7cm的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A．3cmB．6cmC．11cmD．13cm
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设应选取的第三根木棒长是xcm，由此得到3＜x＜11，即可得到答案．
【解答】解：设应选取的第三根木棒长是xcm，
∴7﹣4＜x＜7+4，
∴3＜x＜11，
∴应选取的第三根木棒长可以为6cm．
故选：B．
3．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000049．将数据0.000049用科学记数法表示为（ ）
A．4.9×10﹣5B．4.9×10﹣6C．0.49×10﹣6D．49×10﹣6
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.000049＝4.9×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）化简：的结果是（ ）
A．B．1C．2D．0
【分析】按照同分母的分式相加：分母不变，分子相加进行计算，然后分子和分母约分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．（a2）3＝a5C．a2•a3＝a5D．a6÷a2＝a3
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故C符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和还大180°，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝360°+180°，
n＝5．
故选：D．
7．（3分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A．∠1＝∠2B．∠B＝∠DC．∠C＝∠ED．∠BAC＝∠DAC
【分析】已知两边，若要证明△ABC≌△ADE，只需添加夹角，由此可求解．
【解答】解：A．∵∠BAC＝∠1+∠DAC，∠CAD＝∠2+∠DAC，
若∠BAC＝∠CAD，则∠1＝∠2，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
故A正确；
B．当∠B＝∠D时，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但∠B＝∠D不是夹角，
∴不能判断△ABC≌△ADE，
故B不正确；
C，当∠C＝∠E时，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但∠C＝∠E不是夹角，
∴不能判断△ABC≌△ADE，
故C不正确；
D．当∠BAC与∠DAC不可能相等，
∴不能判断△ABC≌△ADE，
故D不正确；
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，沿BD折叠△BCD，使点C恰好落在边AB上点E处，若∠A＝20°，则∠ADE的度数为（ ）
A．70°B．60°C．55°D．50°
【分析】根据折叠的性质得∠C＝∠BED，求出∠C，根据三角形外角的性质即可解答．
【解答】解：∵沿BD折叠△BCD，使点C恰好落在边AB上点E处，
∴∠C＝∠BED，
∵∠ABC＝90°，∠A＝20°，
∴∠C＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝70°﹣20°＝50°，
故选：D．
9．（3分）如图，已知∠AOB，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；（3）画射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．这样画出OP的依据是（ ）
A．SAS，全等三角形对应角相等
B．ASA，全等三角形对应角相等
C．SSS，全等三角形对应角相等
D．AAS，全等三角形对应角相等
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CP＝DP，加上OP为公共边，则根据“SSS”可判断△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质得到∠COP＝∠DOP，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：由作法得OC＝OD，CP＝DP，
而OP为公共边，
所以△OCP≌△ODP（SSS），
所以∠COP＝∠DOP，
即射线OP即为∠AOB的平分线．
故选：C．
10．（3分）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设规定的工期为x天，等量关系为：甲5天的工作量+乙x天的工作量＝1，据此列方程即可．
【解答】解：由题意得，．
故选：A．
11．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接AD，求出△ABD是直角三角形，根据在直角三角形中，有含30°的角，根据定义进行求值即可．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE⊥CE，∠C＝30°，CD＝2，
∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：ED＝1，
∴根据勾股定理：CE＝，
∵DE垂直平分AC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DA＝DC＝2，∠DAC＝90°，
∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，AD＝2，
∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：BD＝4，
故选：B．
12．（3分）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【分析】根据等边三角形到现在得到AB＝BC，∠C＝60°，作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据三角形的内角和定理得到∠G＝30°，根据直角三角形的性质得到CG＝2CM＝14，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠C＝60°，
作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠C＝60°，∠CNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵CM＝7，
∴CG＝2CM＝14，
∴NG＝8，
∴BN＝GG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请用黑色墨水笔或黑色签字笔将答案写在答颗卡上相应的位置．)
13．（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是 x≠﹣3 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3+x≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
14．（4分）已知x﹣y＝4，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ 24 ．
【分析】先利用提取公因式法把所求代数式分解因式，然后把已知条件中的x﹣y＝4，xy＝6代入分解后的式子进行计算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝4，xy＝6，
∴x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝6×4
＝24，
故答案为：24．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ 2.6 cm．
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC，
在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝1.3，
∴BF＝2.6（cm）．
故答案为：2.6．
16．（4分）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝ ．
【分析】取AB中点N，连接DN，结合等边三角形的性质、三角形中位线的性质先判断出△END≌△FCD（ASA），得出DE＝DF，再根据线段的和差证明BF﹣BE＝BC，可得结论．
【解答】解：取AB中点N，连接DN，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣60°＝120°，
∵点D为AC的中点，点N为AB的中点，
∴CD＝AC，DN是△ABC的中位线，
∴DN＝BC，DN∥BC，
∴ND＝CD，∠NDC＝180°﹣60°＝120°＝∠EDF，∠END＝180°﹣60°＝120°，
∴∠NDE＝∠CDF，∠END＝∠DCF，
在△END和△FCD中，
，
∴△END≌△FCD（ASA），
∴DE＝DF，NE＝CF，
∴NE＝BE+AB＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
∴BF﹣BE＝BC，
∵BF＝9，BE＝2，
∴BC＝＝AC，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共98分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂及立方根的定义计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2﹣4
＝﹣5；
（2）原方程去分母得：3x﹣1＝x﹣3+4，
整理得：3x﹣1＝x+1，
解得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣3）得1﹣3＝﹣2≠0，
故原方程的解为x＝1．
18．（10分）先化简再求值（x+1﹣）÷，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为1和2，取x＝3，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1﹣）÷
＝
＝•
＝•
＝，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为1和2，
取x＝3，
当x＝3时，原式＝＝5．
19．（10分）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ACB≌△BED；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE，
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°，
∴∠BDE＝∠ABC，
在△ACB和△BED中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS）；
（2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm），
∵△ACB≌△BED，
∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm，
∴DE＝DC+CE＝50（cm），
答：两堵木墙之间的距离为50cm．
20．（10分）图①，图②都是边长为1的3×3正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与线段AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称（A、B的对应点分别为M、N），且M、N均为格点．
（2）在图②中，画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于直线EF对称（A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1且A1、B1、C1均为格点），再求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图①，线段MN即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②，△A1B1C1即为所求．
△A1B1C1的面积为＝﹣1﹣3＝．
21．（10分）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 a+b ，阴影部分正方形的边长是 a﹣b ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
【分析】（1）结合图形，依题意得可得出图②中大正方形的边长，阴影部分正方形的边长；
（2）方法一：根据“S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积”可得出阴影部分的面积；方法二：根据“S阴影＝图2中小正方形的面积”可得出阴影部分的面积；再根据两种方法得到的阴影部分的面积即可得出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系；
（3）将a+b＝8，ab＝7代入（2）中得出的b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系式即可得出阴影部分正方形的边长．
【解答】解：（1）依题意得：图②中大正方形的边长是a+b，阴影部分正方形的边长是a﹣b；
故答案为：a+b；a﹣b．
（2）方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
22．（10分）遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是1.5x元，根据“用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆”，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗（80﹣m）捆，根据“菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗，对A，B两种菜苗均提供八折优惠”，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是1.5x元，
由题意得：×+4＝，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是25元；
（2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗（80﹣m）捆，
由题意得：25×0.8m+35×0.8（80﹣m）≤1960，
解得：m≥35，
∴至少可购买A种菜苗35捆，
答：至少可购买A种菜苗35捆．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
【分析】（1）根据HL证明RtABE≌Rt△CAD，根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD，再根据三角形挖掘性质及垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线定义及等量代换得出∠CBE＝∠CAD，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出∠AEB＝∠BFG，再根据全等三角形的性质及对顶角性质求出∠CFD＝∠D，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【解答】解：（1）BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
24．（12分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：将“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将“m”还原为“x2﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： （x﹣1）4 ；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：．
【分析】（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式；
（3）设1+++…+＝y，则++…+＝y﹣1，再将y代入即可求解．
【解答】解：（1）设x2﹣2x＝m，
则：原式＝m（m+2）+1
＝m2+2m+1
＝（m+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4，
故答案为：（x﹣1）4；
（2）设x2+6x＝y，
原式＝y（y+18）+81
＝y2+18y+81
＝（y+9）2
＝（x2+6x+9）2
＝（x+3）4；
（3）设1+++…+＝y，则++…+＝y﹣1，
∴原式＝y（y﹣1+）﹣（y+）（y﹣1）
＝y（y﹣）﹣（y+）（y﹣1）
＝y2﹣y﹣y2+y﹣y+
＝．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D，连接CD．
（1）【观察发现】
如图①，∠DAC与∠DBC的数量关系是 ∠DAC＝∠DBC ；
（2）【尝试探究】
点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数；
（3）【深入思考】
如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系．
【分析】（1）由∠ACB＝∠ADB＝90°，得∠DAC+∠AED＝90°，∠DBC+∠BEC＝90°，而∠AED＝∠BEC，所以∠DAC＝∠DBC，于是得到问题的答案；
（2）作CF⊥CD交BD于点F，则∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，而∠DAC＝∠FBC，AC＝BC，即可根据“ASA”证明△DAC≌△FBC，得CD＝CF，则∠CDB＝∠CFD＝45°，所以∠CDB的大小不改变，∠CDB的度数是45°；
（3）作CG⊥CD交BD于点G，作CH⊥BD于点H，可证明△CHE≌△ADE，得HE＝DE，CH＝AD，由△DAC≌△GBC，得AD＝BG，则CH＝BG，由CG＝CD，CH⊥DG，得DH＝GH，则CH＝DH＝GH，所以BG＝DH＝GH＝2DE，即可推导出BE＝5DE．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥BE于D，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠AED＝90°，∠DBC+∠BEC＝90°，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠DAC＝∠DBC，
故答案为：∠DAC＝∠DBC．
（2）∠CDB的大小不改变，
如图①，作CF⊥CD交BD于点F，则∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
由（1）得∠DAC＝∠FBC，
在△DAC和△FBC中，
，
∴△DAC≌△FBC（ASA），
∴CD＝CF，
∴∠CDB＝∠CFD＝45°，
∴∠CDB的大小不改变，∠CDB的度数是45°．
（3）BE＝5DE，
理由：如图②，作CG⊥CD交BD于点G，作CH⊥BD于点H，则∠CHE＝90°，
∴∠CHE＝∠ADE，
∵E为AC中点，
∴CE＝AE，
在△CHE和△ADE中，
，
∴△CHE≌△ADE（AAS），
∴HE＝DE，CH＝AD，
由（2）得△DAC≌△GBC，
∴AD＝BG，
∴CH＝BG，
∵CG＝CD，CH⊥DG，
∴DH＝GH，
∴CH＝DH＝GH＝DG，
∴BG＝DH＝GH＝2DE，
∴BE＝BG+GH+HE＝2DE+2DE+DE＝5DE．