贵州省遵义市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2. 现有两根长度分别为和的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设应选取的第三根木棒长是，得到，解之即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：设应选取的第三根木棒长是，
则，
∴，
∴应选取的第三根木棒长可以为，
故选：．
3. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000049．将数据0.000049用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：A．
4. 化简：的结果是（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，按照同分母的分式相加：分母不变，分子相加进行计算，然后分子和分母约分即可．
【详解】，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项法则，即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则，是解题的关键．
6. 一个多边形的内角和比它的外角和还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式（n−2）•180°，外角和等于360°列出方程，然后求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，
（n−2）•180°＝360°＋180°，
解得：n＝5，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角，熟记多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键，需要注意，任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．
7. 如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解．
【详解】A．∵，
若，则，
∵，
∴，
故A正确；
B．当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，
故B不正确；
C，当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，
故C不正确；
D．当与不可能相等，
∴不能判断，
故D不正确；
故选：A．
8. 如图，在中，，沿折叠，使点C恰好落在边上点E处，若，则度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和，求出，即可解答，熟记折叠前后的三角形对应角度不变是解题的关键．
【详解】解：∵沿折叠，使点C恰好落在边上点E处，
，
，，
，
，
，
，
故选：D．
9. 如图，已知，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；（3）画射线．射线即为的平分线．这样画出的依据是（ ）
A. ，全等三角形对应角相等B. ，全等三角形对应角相等
C. ，全等三角形对应角相等D. ，全等三角形对应角相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本作图得到，加上为公共边，则根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到，于是可对各选项进行判断．
【详解】由作法得，而为公共边，
所以，
所以，
即射线即为的平分线．
故选：C．
10. 某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定的工期为x天，等量关系为：甲5天的工作量乙x天的工作量，据此列方程即可，正确找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，．
故选：A．
11. 如图，已知在中，，垂直平分，若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】】本题考查了含30度角的直角三角形，连接，根据在直角三角形中，有含的角，根据定义进行求值即可．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
12. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形得到，作点N关于直线的对称点G，过G作于M，交于P，则此时，的值最小，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
作点N关于直线的对称点G，则：，
∴当三点共线时，的值最小，
过G作于M，交于P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．掌握轴对称的性质和垂线段最短，添加辅助线，是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请用黑色墨水笔或黑色签字笔将答案写在答颗卡上相应的位置．)
13. 若分式有意义，则x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
14. 已知，，则______．
【答案】24
【解析】
【分析】先利用提取公因式法把所求代数式分解因式，然后把已知条件中的，，代入分解后的式子进行计算即可．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：24．
15. 如图，在中，，平分，于点，于点，，则______cm．
【答案】2.6
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积．先利用证明，得出，又，将代入即可求出．
【详解】解：，平分，
，，
在与中，
，
∴，
，
，
，
，
，
．
故答案为：2.6．
16. 如图，在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在的延长线上，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；取中点N，连接，结合等边三角形的性质、三角形中位线的性质先判断出，得出，再根据线段的和差证明，可得结论．
【详解】取中点N，连接，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，点N为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共98分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算及解分式方程；
（1）利用负整数指数幂，零指数幂及立方根的定义计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）原式；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为．
18. 先化简再求值，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】，5
【解析】
【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．
【详解】
，
当，时，分母为0，分式无意义，故不能取；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．
19 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）两堵木墙之间的距离为50
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用．
（1）根据题意可得，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【小问1详解】
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，
∴
∴，
答：两堵木墙之间的距离为50．
20. 图①，图②都是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称（、的对应点分别为、），且、均为格点．
（2）在图②中，画一个，使与关于直线对称（、、的对应点分别为、、且、、均为格点），再求出的面积．
【答案】（1）见解析，
（2）作图见解析，的面积为
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，
（2）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可，
本题考查了作图，轴对称变换，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求（答案不唯一），
【小问2详解】
如图，即为所求，
，
故答案为：的面积为．
21. 现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示，，三者之间的数量关系．
（3）已知，求图②中阴影部分正方形的边长．
【答案】（1），；
（2）；
（3）阴影部分正方形的边长为6．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何解释．熟练掌握矩形、正方形的面积公式，是解决问题的关键．
（1）观察图形，得出图②中大正方形的边长：，阴影部分正方形的边长： ；
（2）方法一：根据“图②中大正方形的面积图①中长方形的面积”可得出阴影部分的面积；方法二：根据“图②中小正方形的面积”可得出阴影部分的面积；再根据两种方法得到的阴影部分的面积相等即可得出，，三者之间的数量关系；
（3）将，代入（2）中得出的结论即可得到阴影部分正方形的边长，开平方时，结果取算术平方根．
【小问1详解】
观察图形得：图②中大正方形的边长是，阴影部分正方形的边长是；
故答案为：；．
【小问2详解】
方法一：∵图②中大正方形的面积图①中长方形的面积，
∴；
方法二：∵图②中小正方形面积，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，
∴由（2）知，，
∵
∴．
∴阴影部分正方形边长为6．
22. 遵义市某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？
【答案】（1）每捆A种菜苗的价格是25元；
（2）至少可购买A种菜苗35捆．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元，根据“用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆”，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆，根据“菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗，对A，B两种菜苗均提供八折优惠”，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是25元；
【小问2详解】
设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆，
由题意得：，
解得：，
∴至少可购买A种菜苗35捆，
答：至少可购买A种菜苗35捆．
23. 如图，在中，，，垂足为C，交线段于F，E是边上一点，连接，交于点G且．
（1）猜猜与有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若是的角平分线，试说明是等腰三角形．
【答案】（1），理由见解析；
（2）说明见解析．
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）根据证明，根据全等三角形的性质得出，再根据三角形全等性质及垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线定义及等量代换得出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据全等三角形的性质及对顶角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
24. 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可．
解题过程如下：
解：设，则：原式．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ；
（2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：
．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查公式法分解因式；
（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式；
（3）设，再将y代入即可求解．
小问1详解】
设
则：原式
，
故答案为：；
【小问2详解】
设
原式=
；
【小问3详解】
设
∴原式
．
25. 在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．
（1）【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
（2）【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
（3）【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
【答案】（1）
（2）的大小不变，
（3）
【解析】
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案；
（2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，；
（3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出．
【小问1详解】
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，
∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
【小问3详解】
E，
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则
∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．