四川省眉山市仁寿县协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

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【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的方程得出其斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系得出答案.
【详解】直线的斜率，
设直线的倾斜角为，,
则，则，
故选：A.
2、
【答案】B
【解析】
【分析】利用频率和概率的关系得到答案.
【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B
3.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解．
【详解】由已知，又，所以，
故选：D．
4.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列方程，即可求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得：.
故选：C
5.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可.
【详解】由椭圆，
则椭圆的离心率，
又因为，则，
所以.
故选：B
6.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案.
【详解】设，其中，
则，即，
所以，
所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线.
故选：D
7.
【答案】B
【解析】
【分析】设切线方程为，联立方程根据得到，再计算平行直线的距离得到答案.
【详解】设切线方程为，则，则，
，解得，
切线方程为，故这两条直线间的距离等于.
故选：B.
8.
【答案】D
【解析】
【分析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示；
则点设点的坐标为，由题意可得 ，
， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为；
当或1，且或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是
故选D．
9.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D.
【详解】对于A，若，则化为，
则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A正确；
对于B，若，即为，即，
即是两条直线，B正确；
对于C，若，不妨设，则化为，
则表示焦点在x轴上的双曲线，
同理当，则化为，
则表示焦点在y轴上的双曲线，
综合知是双曲线，C正确；
对于D，若，则即为，
则是圆，其半径为或，D错误，
故选：ABC
10.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.
【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选：AC．
11.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，判断出两圆外切，得到A正确；B选项，得到三角形全等，设，故，，结合正弦函数和余弦函数的单调性，得到最大，只需最大，从而得到B正确；C选项，设出，表达出；D选项，根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.
【详解】A选项，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆心距为，又，
由可知，故两圆相离，故圆与圆共有条公切线，A正确；
B选项，因为，与圆切于，，所以⊥，⊥，
由对称性可知，≌，
连接交于点，则⊥，且，
设，则，，
要想最大只需最大，而在上单调递增，故只需最大，
其中，而在上单调递减，
故只需最大，
显然当，，三点共线，如图所示时，最大，B正确；
C选项，设，
则，
，
，
，
故，C正确；
D选项，由题意得，，
故，则点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.
故选：ABC
12.
【答案】
【解析】
【分析】求出两直线交点坐标后可得．
【详解】由得，所以，
，
故答案为：3.
13.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆的性质，借助勾股定理列式求解即得.
【详解】令线段的中点为，由圆的性质知，，且所在圆的圆心在直线上，
设所在圆的半径为r，则有，解得，
所以所在圆的半径为5.
故答案为：5
14.
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.
【详解】不妨取为上顶点，如图所示：
则，设，则，则，
整理得到，，
中，根据余弦定理：，
整理得到，即.
故答案为：.
15.
【解析】
【分析】（1）先求得线段AB的中点即圆心，从而求得半径，写出方程；
（2）由时最小，再利用弦长公式求解.
【小问1详解】
解：由题意可知圆的圆心为，半径为．
所以圆的方程为．
【小问2详解】
易知当时最小，此时的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以．
16. 如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角．
【小问1详解】
是长方体，平面,
平面,,
是边长为的正方形，侧棱，且为棱的中点，
,,,
,,
平面，平面，且，
平面，
平面，
平面平面.
【小问2详解】
以点为原点，以、、所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,，
则,,,
设平面的法向量为，
则，解得：，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
线面角范围为，
，即直线与平面所成角为.
17.
【小问1详解】
将次掷出的点数记为，则所有的样本点为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共个，且每个样本点出现的可能性相同，
使得的样本点有，，，，，，，，，共个，
因此，显然与为对立事件，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，，由和相互独立，即知，
此时等价于事件“且”，因此中仅有一个样本点，即，则，
而，，，，，
因此当且仅当时，且，所以所求的值为.
18.
【小问1详解】
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.

19.
【小问1详解】
由题意可得解得，所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
①方法一：第三定义转化
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立
整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，
所以，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
方法二：非对称韦达
依题意，点，设
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意
所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立得：
所以整理得：，
所以，且
依题意，，即．
算法1：和积关系转化法
因为，
所以，
所以解得：．
算法2：韦达定理代入消元
因为，
所以，
所以解得：．
方法三：分设两线再联立
依题意，点，设，设，并设直线，直线，
因为联立直线与椭圆C得：
所以整理得：，解得：．
因为联立直线与椭圆C得：
所以整理得：，解得：．
因为，且，此时，
设直线与x轴交于点，则由P，D，Q三点共线易知，
，
即线段过点．
②由①得，
所以
（当且仅当即时等号成立），
所以的最大值为2．