2021-2022学年四川省眉山市仁寿县四校联考高二上学期期中考试数学试题含答案

四川省眉山市仁寿县四校联考2021-2022学年高二上学期期中考试

数学试卷

一. 选择题（每小题5分，总分60分）

1.直线的倾斜角是(   )

A.               B.              C.                D.

2.圆与圆的位置关系为(   )

A.相离  B.相交  C.外切   D.内切

3.倾斜角为,在轴上的截距为的直线方程是(   )

A.       B.       C.        D.

4.已知为两条不同的直线, 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(   )

A.        B.
C.                       D.

5.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为(   )

A.  B.  C.  D.

6.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是(   )

A．              B． 

B．C．          D．

7.若实数满足不等式组则的最小值是(   )

A .     -3   B.    -2   C.   -1 D.  0

8.设是两条不同的直线, 是两个不同的平面.有下列四个命题:

①若,则且;

②若,则;

③若,则;

④若,则

其中正确的命题有(   )

A.0个        B.1个        C.2个        D.3个

9.若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称,则 (   )

A.0          B.1          C.2          D.3

10.如图,在长方体中, 分别是的中点.有下列结论:

①与垂直;

②平面;

③与所成的角为45°;

④平面.

其中不成立的是(   )

A.②③       B.①④       C.③         D.①②③

11.设为圆上的动点, 是圆的切线,且,则点的轨迹方程为(   )

A.                  B.
C.                  D.

12.曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（   ）

A． B．   C． D．

二．填空题（每小题5分，总分20分）

13.圆与直线的位置关系为          .

14.已知实数满足约束条件，则的最小值为__________.

15.已知点为圆上一点,且点到直线的距离的最小值为,

则的值为                

16.在正三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为_____.

四.解答题（写出必要的解答过程）

17.（10分） 已知两条直线

（1）若,求实数的值;   （2）若,求实数的值

18.（12分） 如图所示,在正方体中, 是的中点, 分别是和的中点.求证:

(1)直线平面;

(2)平面平面.

19.（12分） 如图，在三棱锥中，，，，，D为线段的中点，E为线段上一点．

（1）求证：平面平面；
（2）当PA//平面BDE时，求三棱锥的体积．

20. （12分） 已知圆M过，两点，且圆心M在上.
    （1）求圆M的方程；
    （2）设点P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值.

21.（12分） 如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,且与底面垂直,底面是边长为2的菱形, ,是的中点,过、、三点的平面交于为的中点,求证:
(1) 平面;
(2)平面平面.

(3)求多面体的体积

22.（12分） 已知以点为圆心的圆与轴交于点和点,与轴交于点和点,其中为原点.
（1）求证: 的面积为定值;
（2）设直线与圆交于点,,若, 求圆的方程.

数学答案

一. BBDDA   ACBAA  BD

二.       13.   相交             14.         15.             16. 

三.    17.（1）因为直线的斜率存在,

又∵,

∴,

∴ 或,两条直线在 轴是的截距不相等,

所以或满足两条直线平行;
（2）.因为两条直线互相垂直,且直线的斜率存在,

所以,即,解得.

18.（1）如图,连接,

∵分别是的中点

∴.

又平面,平面,

∴直线平面.

（2）.如1题图,连接,

∵分别是的中点,∴.

又平面,平面,

∴平面.

又直线平面,且直线平面,直线平面,,

∴平面平面.

19.答案：（1）证明：由，D为线段的中点，可得，
由（1）得，且，又平面，平面，
所以平面，且平面，可得平面平面；
(2)平面，平面，且平面平面，可得，
又D为的中点，，可得E为的中点，且，
由平面，可得平面，因为，，
可得，则三棱锥的体积为．

20.答案：（1）设圆心，圆M的方程为，

根据题意得    解得

故所求圆M的方程为.

（2）由题易知，四边形PAMB的面积.

又，，所以.

而，

即.

因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，

即在直线上找一点P，使得的值最小.因为当所在直线垂直于直线时，取得最小值，

所以，

所以四边形PAMB的面积的最小值为.

21.（1）∵侧面是正三角形, ,
为的中点,∴。
∵,底面是边长为2的菱形,
∴正三角形是正三角形,∴,
又∵,∴   。
∵,平面,∴平面;
(2）∵由2知平面,∴,又∵,∴;
∵,是的中点,∴,
∵,平面,∴平面,
又∵平面,∴平面平面.

（3）

22.（1）证明:∵圆过原点.
∴,
设圆的方程为,
令,得,;
令,得,.
∴,即的面积为定值.
（2）.∵,
∴垂直平分线段.
∵,∴,
∴直线的方程为,
∴,解得或.
当时,圆心的坐标为,,
此时圆心到直线: 的距离,圆与直线相交于两点.
符合题意,此时,圆的方程为.
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离,
圆与直线不相交,
∴不符合题意,应舍去.
∴圆心的方程.