专题03 分式与分式的基本性质（8大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

这是一份专题03 分式与分式的基本性质（8大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版），文件包含专题03分式与分式的基本性质8大基础题+3大提升题原卷版docx、专题03分式与分式的基本性质8大基础题+3大提升题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

分式的判断
1．（23-24八年级下·山西晋城·期末）下列有理式是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式，分母中含有字母的式子是分式，据此即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意；
、是分式，该选项符合题意；
、是单项式，不是分式，该选项不合题意；
、是多项式，不是分式，该选项不合题意；
故选：．
2．（23-24八年级下·四川成都·期末）在，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在，，，，，中，
，，，分母中不含有字母，都不是分式，
分式有，，，共有3个．
故选：B．
3．（23-24八年级上·河北承德·期末）在,，，，，，分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】考查了分式的定义，根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选C．
4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）代数式 中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关．
【详解】根据题意，是分式的是，共有3个，
故选B．
5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列各式，，，，，，，中，分式共有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，，
一共有6个分式，
故选：B．
分式有意义、无意义的条件
1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）分式有意义，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故选：A．
2．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）若分式无意义，则实数x的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意可得出，
解得：，
故选：D．
3．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）分式有意义，x满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：A．
4．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． 且D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键；
【详解】解：根据题意得：，，
解得：且，
故选：C
5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（ ）
A．且B．且和3C．且和3D．且和3
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：根号下大于等于0，理解分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可；
【详解】解：∵分式有意义，
∴且，
解得：且，
∵有解，
∴，
综上，且且，
故选：D．
6．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）下列关于分式的判断正确的是（ ）
A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义
C．无论x为何值，分式的值不可能得整数 D．无论x为何值，分式的值总为正数
【答案】D
【知识点】因数和倍数的认识、分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查分式的意义，因数，非负数，熟练掌握分式的分子、分母的取值对分式结果的影响是解题的关键．
根据当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零，因数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、当时，的分母为零，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当，，，时，的值是整数，故本选项不符合题意；
D、，
无论为何值，的值总为正数，故本选项符合题意；
故选：D．
分式的值为0的条件
1．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为零，则x的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）当 时，分式的值不等于零．
【答案】且
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式值为0的条件．解题的关键在于熟知分式值为零的条件是分子为零，分母不为零．
根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．
【详解】解：若分式的值不等于零零，则且
且
故答案为：且．
3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）当 时，分式值为0．
【答案】3
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得．
由此，得，且，
综上，得的值为3．
故答案为：3．
4．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）当 时，分式的值为零．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件．根据分式的解为0的条件，即可得到答案.
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：.
5．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为0且分式无意义，则 ．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零和分式无意义的条件，根据分式的值为0可求出x的值，根据分式无意义可求出y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
∵分式无意义，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
判断分式变形是否正确
1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列各式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质（把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为解答即可．
【详解】解：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：A．
2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列等式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】此题考查了分式的基本性质．此题比较简单，注意熟练掌握性质是关键．
利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分析求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质逐项分析判断即可即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可
【详解】解：A. ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C符合题意；
D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意；
故选：C
5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式中的符号法则进行有关的化简．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：B．
利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如果把分式中的x和y的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．不改变D．扩大4倍
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变．
根据分式的性质求解即可．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍，得：，
∴分式的值不改变．
故选：C．
2．（23-24七年级下·广西百色·期末）如果把分式中的a，b的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．是原来的2倍B．是原来的3倍C．是原来的6倍D．不变
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变． 把、代入分式，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论．
【详解】解：把、代入分式可得
，
由此可知分式的值没有改变，
故选：D．
3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若把分式中都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍B．不变
C．扩大到原来的9倍D．缩小到原来的
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．
【详解】解：把分式中都扩大3倍，则
，
分式的值不变．
故选：B．
4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的10倍D．不变
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键．将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．
【详解】解：x、y均扩大为原来的10倍后，
，
∴分式的值为原分式值的，
故选：A．
5．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．缩小2倍B．不变C．扩大2倍D．扩大4倍
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x、y都扩大2倍后为，
∴把分式中的x、y都扩大2倍，分式的值不变，
故选：B．
最简分式
1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查最简分式的识别．根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意；
B、，不是最简分式，本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，本选项不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式，叫最简分式，进行判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
．分子分母中不含公因式，是最简分式，该选项符合题意；
．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
故选：．
3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查了最简分式的识别，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式．
根据最简分式的定义求解即可．
【详解】解：A、是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式．不符合题意；
C、是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
4．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）下列分式不是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【分析】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
直接利用一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，进而判断得出答案．
【详解】解：A．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意；
B．，不是最简分式，故此选项符合题意；
C．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意；
D．无法化简，是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
5．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列分式中 最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可．
【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：A．
约分
1．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）化简 ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了约分．直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期末）化简： ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的化简，先找出分子分母的公约式，然后行进约分，化简成最简的形式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广东佛山·期末）化简：= ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约分化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
5．（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简： ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是分解因式．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．先把分子分母分解因式，然后把公因式约去即可．
【详解】解：．
故答案为：．
最简公分母
1．（23-24八年级下·全国·期末）分式与的最简公分母为 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查的是最简公分母，当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．
【详解】解：∵分式的分母，都是单项式，
∴分式与的最简公分母是．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）与的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
先取3和4的最小公倍数，再取x的2次幂和y的2次幂，则它们的积为两分式的最简公分母．
【详解】解：与的最简公分母为．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）分式的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法．确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式看成一个字母，再求最简公分母．
【详解】解：的最简公分母是，
故答案为：．
4．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）分式、、的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握“各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积” 叫做最简公分母，是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴分式，，的最简公分母是：．
故答案是：．
5．（23-24八年级下·河南南阳·期末）分式，的最简公分母是 ．
【答案】/
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案．
【详解】解：分式与的最简公分母是：，
故答案为：．
求分式值为正(负) 数时未知数的取值范围
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可．
【详解】根据题意，得，
解得，
x的取值范围在数轴上表示如下：

故选：C．
2．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当时，分式的值为正数B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为0D．当时，分式的值为1
【答案】A
【知识点】分式值为零的条件、分式的求值、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可．
【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意；
B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意．
故选：A．
4．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论：
①不论a为何值时都有意义；
②时，分式的值为0；
③若的值为负，则x的取值范围是；
④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式值为零的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可．
【详解】解：①∵，
∴不论a为何值时，都有意义，故①正确；
②∵当时，，
此时分式无意义，
∴②错误；
③∵的值为负，，
∴，
∴，故③正确；
④∵有意义，
∴且，
∴x的取值范围是且，故④正确．
故选：B
5．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集
【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
求使分式值为整数时未知数的整数值
1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】B
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值是整数，
是6的约数，即或2或3或6，
解得：（舍去）或1或2或5，
则满足条件的所有正整数m的和为．
故选：B．
2．（23-24八年级上·江西上饶·期末）整数 为 时，式子为整数．
【答案】
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键．
【详解】∵，
∴或或或，
解得：或或（不合题意，舍去）或．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ．
【答案】0或/或0
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或，
然后分别求解，即可确定的整数值．
【详解】解：若分式的值为整数，
则或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若取整数，
则的整数值为0或．
故答案为：0或．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ．
【答案】
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解．
【详解】解：∵及都是正整数，
∴，
即，
解得：，
故当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故所有满足条件的的值有：、、，
∴所有满足条件的的值的和是．
故答案为：．
5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是 ．
【答案】
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的值．熟练掌握解一元一次不等式，分式的值是解题的关键．
由题意可得，，即，然后根据分式的值为整数，确定整数m的值，进而可得满足条件的整数m的值．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
，
∴，
解得，，
∵分式的值为整数，
∴整数的值为，，0，1，
又∵，
∴满足条件的整数m的值为，
故答案为：．
分式中的新定义型综合问题
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)或或或或或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、约分
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；
（3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可．
【详解】（1）解：①，②；③，④，
∴①③④的分式是“和谐分式”，
故答案为：①③④；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵的值为整数，
∴当x为整数时，的值为整数
当或或时，分式的值为整数，
∴或或或或或．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值；
(3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③；
(2)，；
(3)是，理由见解析．
【知识点】约分、代入消元法
【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可；
（3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
（2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为，
，
，
∴，
解得：；
（3）解：分式的“巧整式”为．
，
；
，
又是整式，
是“巧分式”．
3．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)或或或
【知识点】按要求构造分式、求使分式值为整数时未知数的整数值、分式的判断
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．