内蒙古赤峰二中2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

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1．设集合，，若，则（ ）
A．2B．1C．D．-2
2．命题“，”的否定形式为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ）
A．B．C．2D．4
6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的定义域为,.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分）
9．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值9B．有最大值
C．有最小值D．有最大值
10．对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．，
C．在上单调递增D．在上单调递减
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，为偶函数B．存在实数，使得为奇函数
B．C．当时，取得最小值D．当时，方程可能有三个实数根
三、填空题（每题5分）
12．已知函数，若，则__________
13．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则________
14．已知函数，若非空集合满足，则实数的取值范围__________
四、简答题
15．（13分）已知函数为上的偶函数，当时，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若实数满足不等式，求的取值范围.
16．（本题15分）已知函数为定义在区间上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式：
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．
17．（15分）荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为.
(1)已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.设窗户的面积s平方米，求s与的函数解析式及x的取值范围；
（2）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
18．（本题17分）已知函数，函数
(1)若函数关于对称，且，求a，b的值；
(2)当时，记，若当时，，求的最大值.
(3)当时，若函数的值域和函数的值域相同，求b的取值范围；
19．（本题17分）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．
(1)证明函数的图象是关于点的中心对称图形
(2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
(3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．
数学月考答案
一、单选题
1．A2．D3．D4．B5．A6．B7．D8．C
二、多选题
9．ABD10．BD11．AC
三、填空题
12．13．14．
四、简答题
15．【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为函数为上的偶函数，且当时，，
因，即，解得，所以当时，．
当时，则，，则．
故有．
（2）由（1）已得：
可得在上单调递减，在上单调递增．
又，所以
由①得：；由②得：；
由③得：．故t的取值范围是．
16．【答案】（1）（2）函数在是增函数，证明见解析
（3）
【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，，解得，
所以，经检验，该函数为奇函数；
（2）在上递增，证明如下：
任取，，使得，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以，所以在上递增；
（3）若对任意的，存在，使得成立，则
由（2）得在上递增，所以，
若，则在上为增函数，，，
若，则，此时符合题意．
若，则在上为减函数，，．
综上可知：．即实数k的取值范围是：．
17．【详解】（1）设矩形的另一边长为y，
由三角形相似得，解得，
矩形窗户面积
（2）设地板面积为，解不等式组，
所以，即，解得，故窗户面积最小为，
令，可得，解得或．
故当x为米或米时，窗户面积最小，为平方米．
18．【答案】
【详解】（1）由函数，
因为关于对称，且，
可得，解得，．
（2），
经分析，，，则此时单调递增；
，，
根据对勾函数性质知此时单调递减；，单调递增；
令，即，则；
令，则或，则或，
所以．
（3）当，函数，对称轴是，，
当时，（ⅰ）时，，且时取“=”
（ⅱ）时，且时取“=”
综上，
因为函数的值域和函数相同，可得，解得，
当时，，在和上单调递增，
此时的值域是R，此时符合的值域和的值域相同．
当时，此时符合的值域和的值域相同，
所以实数b的取值范围为．
19．【详解】（1），对于任意的x，
都有，
所以函数的图象是关于点的中心对称图形．
（2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
理由如下：假设，使得，解得，与矛盾，
所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；
（3）由题意可知，存在，且，使得，
当时，，则，所以，
又知对勾函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，，则不成立；
当时，，则，，
令，则在上单调递增，所以，所以．
综上可知，实数m的取值范围为．