专题18 三角函数概念与诱导公式-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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知识点一：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET ：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
知识点二：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【典型例题】
例1．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】显然为等腰三角形，，则，，
即，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C
例2．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】底面圆的面积为，得底面圆的半径为，
所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
屋顶的体积为，由得圆锥的高，
所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径，
得侧面展开图扇形的圆心角约为.
故选：C.
例3．（2024·高一·四川内江·期末）已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
例4．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是第一象限角，所以是第四象限角，
则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误；
是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误.
故选：C.
例5．（2024·高三·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第三象限
C．第一象限或第三象限D．第二象限或第四象限
【答案】C
【解析】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
例6．（2024·高一·全国·课后作业）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；
对于C，因为与是终边相同的角，
故与角的终边相同的角可表示为，C正确；
对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，
故选：C
例7．（2024·高三·安徽·阶段练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ）

A．1.012mB．1.768mC．2.043mD．2.945m
【答案】B
【解析】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，
则两手之间的距离．
故选：B．
例8．（2024·高三·全国·阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
例9．（2024·辽宁·一模）若，则（ ）
A．或2B．或C．2D．
【答案】C
【解析】或，
代入tanα求得值均为：2.
故选：C.
例10．（2024·全国·一模）若，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】.
因，则.
故选：A
例11．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
例12．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知直线：的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，，
则，解得，或（舍），
所以.
故选：B
例13．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知角α的终边上有一点，则，
故，则，
故选：A
例14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，则 ．
【答案】
【解析】，
因为x是第二象限角，若，所以是第一象限角，
所以，
所以.
故答案为：
例15．（2024·高三·广东云浮·开学考试）已知，则 ．
【答案】/
【解析】.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，
，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则圆台上下底面面积为，
由圆台的体积计算公式可得：
故选：D．
2．（2024·高三·山东青岛·开学考试）中国传统折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：cm）如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设福字下面的小扇形所在圆的半径为，
则，解得：，
所以扇形环的面积为.
故选：A
3．（2024·高一·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，
又第二象限角的范围为，
不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【解析】因为角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因为，即，所以角是第一象限角，
故选：A．
5．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以
.
故选：A
6．（2024·高三·全国·专题练习）若是第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
7．（2024·高三·四川·阶段练习）若角的终边位于第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由诱导公式有：，
因为角的终边位于第二象限，则，
所以.
故选：D.
8．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
9．（2024·高三·河南·专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，.
故选:C.
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ．
【答案】
【解析】因为是第二象限角，可得，
则，所以，
又因为的终边经过点，可得，可得，
解得或（舍去）．
故答案为：.
11．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】/
【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，
所以侧面积.
故答案为：.
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为 ．
【答案】或
【解析】设扇形半径为，
由题意可知：扇形的弧长为，
则扇形的面积为，解得或2，
可得扇形的弧长为或3，所以该扇形圆心角的弧度数为或.
故答案为：或.
13．（2024·云南昆明·一模）已知，，则 ．
【答案】
【解析】由，，，
，
.
故答案为：.
14．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，则 .
【答案】/
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
15．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则
【答案】/0.8
【解析】由所以
故答案为：.
16．（2024·高三·上海·专题练习）角的终边在直线上，则的值是 .
【答案】
【解析】∵角的终边在直线，
∴，
根据，解得，
当角的终边在第一象限时，，
当角的终边在第三象限时，，
即
故答案为：
17．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，则
【答案】
【解析】∵，，∴，，
∴．
故答案为：
18．（2024·全国·模拟预测）已知，则 .
【答案】
【解析】因为，可得，
所以.
故答案为：.
19．（2024·高三·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
【答案】/1.5
【解析】由题意知，
则,
故答案为：
20．（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ．
【答案】
【解析】由可得，
又角的终边在第四象限，可得，即；
所以.
即.
故答案为：
21．（2024·高一·甘肃武威·开学考试）点在角终边上，则 ．
【答案】
【解析】∵点在角终边上，
∴，，
∴，
故答案为：.
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数线
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有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限