专题06 函数的概念-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
（3）函数表示法：函数书写方式为，
（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．
（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．
2、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
3、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
4、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【典型例题】
例1．（2024·山东潍坊·高三阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.
故选：D
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】令，解得或由此解得，
故选：D
例3．（2024·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，，解得函数满足，解得，
即函数的定义域为.
故选:A
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域为，得，
因此函数中，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，恒成立，
当时，即，很显然不满足，
当时，有，解得.
综上可得，.
故选：B
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】设，由题意可得，即
，求出和的值，即可得的解析式.设，则，
即对任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式为或，
故选：A
例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
例8．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】BC
【解析】当时，，解得；
当时，，解得，又，所以舍去．
综上所述，或．
故选：BC
例9．（2024·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 .
【答案】6
【解析】因为，所以，
解得，所以.
故选：6
例10．（2024·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
例11．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最值.
(1)的最大值.
(2)的最大值.
【解析】（1）
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（2）设，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故的最大值为.
例12．（2024·全国·高三专题练习）求值域(用区间表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
【解析】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
例13．（2024·天津河西·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的定义域为，求实数的值；
(3)若的定义域为，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以的值域为.
（2）因为的定义域为，
所以-2和1是方程的两个根，
故，解得，检验符合，故,.
（3）当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域不为，不符合题意；
当时，由题意，在上恒成立，
令，解得，
综上所述，实数的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
2．（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantr）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
3．（2024·山东滨州·高三校考阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以的定义域为，解得，
由分母不为，得，即，所以函数定义域为：.
故选：.
4．（2024·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
5．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，得对恒成立．
当时，恒成立；
当时，，解得．
综上所述的取值范围为．
故选：C．
6．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是.
故选：C
7．（2024·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
8．（2024·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，画出图像，如图所示，
令，则，解得或，
令，则，解得（舍去）或，
对于A：当时，结合图像，得，故A错误；
对于B：当时，结合图像，得，故B错误；
对于C：当时，结合图像，得，故C错误；
对于D：当时，结合图像，得，故D正确；
故选：D．
9．（2024·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，，
∵，则，
又∵，
令，则，∴，即，，
令，则，，即，，
∴，，.
故选：D.
10．（2024·全国·高三专题练习）一次函数满足：，则( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解析】设，
，
∴，解得，∴，∴．
故选：C．
11．（2024·全国·高三专题练习）已知，则=（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则 ，则，
所以，
故选：D.
12．（2024·全国·高三专题练习）若满足关系式，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
在中，，
∴，
故选：B.
13．（2024·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，则的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，
所以的解析式是.
故选：B
14．（2024·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考阶段练习）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④B．②③C．①③D．③④
【答案】B
【解析】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数；
②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
④，两个函数定义域不一样，不是同一函数.
故选：B.
15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
16．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】函数，则，
所以.
故选：A
17．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知函数满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】函数，，
所以.
故选：B
18．（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，或，解得，
所以.
故选：B
19．（2024·四川宜宾·统考一模）设函数，则（ ）
A．8B．9C．22D．26
【答案】C
【解析】,
因为，所以,
所以.
故选：.
二、多选题
20．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；
对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；
对于C，，取，，不符合函数定义，C错误；
对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确.
故选：ABD
21．（2024·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知集合，，下列从集合到集合的各个对应关系是函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】选项A，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故A正确；
选项B，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故B正确；
选项C，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故C正确；
选项D，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D错误；
故选：ABC
22．（2024·全国·高三专题练习）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；
对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D： 由函数定义可知D满足．
故选：BD．
23．（2024·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【解析】当时，由，得，得，解得或，
当时，由，得，得，解得（舍去）或，
综上，，或，或，
故选：BCD
24．（2024·山东泰安·高三校考阶段练习）已知函数，若，则的值可以为（ ）
A．B．3C．7D．8
【答案】AD
【解析】当时，由，得，解得或（舍去），
当时，由，得，解得，
综上或，
故选：AD
25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的值可能是（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】AD
【解析】因为函数，且，
所以，解得：；或者，解得：.
故选：AD
26．（2024·云南·高三景东彝族自治县第一中学校考阶段练习）函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．的定义域为
C．为偶函数D．满足的的取值集合为
【答案】ACD
【解析】由图像可知，，故A正确.
由于的图象，是将的图象向右平移1个单位得到，
又的定义域为，所以的定义域为，故B错误.
是将的图象向左平移1个单位长度得到，
由图像可知，的图象关于轴对称，所以为偶函数，故C正确.
令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，
当时，，当时或，
故的取值集合为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
27．（2024·山东·校联考模拟预测）不等式组的解集用区间表示为： ．
【答案】
【解析】∵不等式组 ，
∴，∴不等式组的解集为．
故答案为：．
28．（2024·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
29．（2024·河北邢台·高三统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【解析】∵的定义域为，即，
∴，
故需，
∴．
∴的定义域为．
故答案为：
31．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
即，则，
故的定义域为．
故答案为：.
32．（2024·上海·高三上海中学校考期中）函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，
当时，单调递增，所以，
故函数的值域为.
故答案为：.
33．（2024·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】设，则且，根据反比例函数性质，
从而，所以．
故答案为：.
34．（2024·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若，则函数的值域是 .
【答案】
【解析】∵.
当时，，
当且仅当，即时取等号；
故函数的值域为.
故答案为：.
35．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】设,则,
所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.
所以值域为:.
故答案为:.
36．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
37．（2024·山西晋中·高三校考开学考试）若函数满足，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
所以有，
，得，
所以，
故答案为：
38．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
39．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知满足，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
联立，解得.
故答案为：.
40．（2024·河南·高三校联考期末）已知，则 .
【答案】1
【解析】由已知时，，
所以，
又时，，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
41．（2024·全国·高三期末）已知二次函数满足，且．求的解析式；
【解析】由，设，
由，则，
整理得，则，解得．
所以．
42．（2024·宁夏固原·高三校考阶段练习）（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式.
【解析】（1），
所以；
（2）设一次函数的解析式为，
则，解得，
所以.
43．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．