广东省广州市第二中学2022-2023学年中考一模数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第二中学2022-2023学年中考一模数学试题（含答案），共41页。试卷主要包含了选择题，第四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共25小题，满分120分，考试时间120分钟．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共10小题，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 温州博物馆B. 西藏博物馆C. 广东博物馆D. 湖北博物馆
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
5. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于反比例函数，不列说法错误是( )
A. 图象经过点B. 图象位于第二、第四象限
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，
7. 如图，内接于⊙，连接，则（ ）
A. B. C. D.
8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 若点，，在二次函数的的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，AB是的直径，BC是的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设，则所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共6小题，满分18分．）
11. 据报道2023年广州市初中毕业生总数为人，将用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：_______.
13. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育老师随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则这组数据的中位数是______；众数是______．
14. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号）
15. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
16. 如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18. 如图，的对角线，相交于点，过点的直线交，于点，．
求证：．
19. 已知．
（1）化简；
（2）若点为直线上一点，求的值．
20. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
21. 某单位食堂为全体职工提供了，，，四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的人中最喜欢套餐的人数为______，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______；
（2）该单位全体职工共名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率。
22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为的中点，双曲线的一支过C，连接，将向右平移至，线段交于点E．
（1）求k的值；
（2）若，求点E的坐标．
23. 如图，在中
（1）尺规作图：以边上一点O为圆心，线段OB的长为半径作，使得与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，连接BD，记与边BC的另一交点为E，，．
①求的值；
②求长．
24. 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．
（1）求抛物线的伴随直线；
（2）无论取何值，抛物线：总会经过某定点，抛物线：的伴随直线经过该定点，求的值；
（3）顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点，（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，当时，轴上存在点，使得取得最大值，求此时点的坐标．
25. 如图，在中，，，．点是边上一个动点，以为圆心作半圆，与边相切于点，交线段于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）为半圆的切线，为切点，当时，求的长一分钟跳绳个数（个）
学生人数（名）
广州市第二中学2022学年初三年级第二学期第一阶段学情反馈
数学试卷（满分120分）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共25小题，满分120分，考试时间120分钟．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共10小题，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 温州博物馆B. 西藏博物馆C. 广东博物馆D. 湖北博物馆
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义解答即可．
【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形．
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DEBC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：A．
【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
5. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
解得：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 对于反比例函数，不列说法错误的是( )
A. 图象经过点B. 图象位于第二、第四象限
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数，
A、当时，，图像经过点，故选项A不符合题意；
B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，故选项C符合题意；
D、∵当时，，时，
∴当时，当时，，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7. 如图，内接于⊙，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
【详解】连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为x天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9. 若点，，在二次函数的的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得，，对称轴为，二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可．
【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为，
则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大，
，，到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
10. 如图，AB是的直径，BC是的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设，则所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将沿翻折得到，将沿翻折得到，则、、为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧的度数，由弧的度数可求得的度数．
【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，则、、为等圆．
与为等圆，劣弧与劣弧所对的角均为，
．
同理：．
又是劣弧的中点，
．
．
弧的度数．
．
所在的范围是；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共6小题，满分18分．）
11. 据报道2023年广州市初中毕业生总数为人，将用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
12. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案：．
13. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育老师随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则这组数据的中位数是______；众数是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：这组数据的中位数是第个与第个数据的平均数，即，
出现了5次，则众数是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了求中位数与众数，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
14. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．设，在中，，进而求得，在中，，求得，根据可得出答案．
【详解】解：设旗杆底部为点，顶部为点，延长交直线于点，依题意则，
则，，，，
设，
在中，
解得
则，
在中，，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，由矩形的条件和旋转的性质可得，，可说明四边形是矩形，然后由正方形的性质可得到，，从而说明是的垂直平分线，进一步推导出，当点，，三点共线时，取最小值，最后由勾股定理可求解．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，
∵在矩形中，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴四边形矩形，
∴，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是直线上一动点，
∴，
∴当点，，三点共线时，取最小值，
在中，，，
，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点关于的对称点是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式的解集如图所示，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18. 如图，的对角线，相交于点，过点的直线交，于点，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，，加上对顶角相等即可证明两个三角形全等．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，利用平行四边形的对角线互相平分和对边平行得到证明全等所需要的边和角的条件是解题的关键．
19. 已知．
（1）化简；
（2）若点为直线上一点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
（2）根据题意求得，代入（1）的结果进行化简即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵点为直线上一点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一次函数的性质，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
20. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
（2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【解析】
【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得，
解得
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
【小问2详解】
解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得
解得
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
21. 某单位食堂为全体职工提供了，，，四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的人中最喜欢套餐的人数为______，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______；
（2）该单位全体职工共名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率。
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢套餐的人数，然后用最喜欢套餐的人数占总人数的比值乘以即可求出答案；
（2）先求出最喜欢套餐的人数对应的百分比，然后乘以即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【小问1详解】
解：最喜欢套餐的人数（人），
最喜欢C套餐的人数（人），
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：最喜欢B套餐人数对应的百分比为：，
估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：（人）；
【小问3详解】
解：画树状图如图
共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用画树状图法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键．
22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为的中点，双曲线的一支过C，连接，将向右平移至，线段交于点E．
（1）求k的值；
（2）若，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据中点坐标求出点C的坐标，把点C的坐标代入求出k的值即可；
（2）过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，根据，，求出，将代入得出，即可得出点E的坐标．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵C为的中点，
∴点C的坐标为，
把代入得：．
【小问2详解】
解：过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，如图所示：
∵将向右平移至，点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴E点的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，中点坐标公式，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握中点坐标公式．
23. 如图，在中
（1）尺规作图：以边上一点O为圆心，线段OB的长为半径作，使得与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，连接BD，记与边BC的另一交点为E，，．
①求的值；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）作的角平分线，交边于点，以O为圆心，线段OB的长为半径作，则与边AC相切于点D；
（2）①设，根据（1）的条件知，在中，勾股定理解得：，根据正弦的定义即可求解；
②根据，得出，根据，利用等面积法得出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作的角平分线，交边于点，以O为圆心，线段OB的长为半径作，则与边AC相切于点D；
【小问2详解】
解：①如图所示，设，
由（1）可知，
∵，．
在中，，，
∴，
即，
解得：，
∴，
②∵，，
∴，
在中，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．
（1）求抛物线的伴随直线；
（2）无论取何值，抛物线：总会经过某定点，抛物线：的伴随直线经过该定点，求的值；
（3）顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点，（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，当时，轴上存在点，使得取得最大值，求此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先化为顶点式，进而根据新定义，写出伴随直线解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得定点坐标，代入抛物线的伴随直线解析式即可求解；
（3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴抛物线的伴随直线为
【小问2详解】
解：
当时，，与无关，
即抛物线过定点，
又∵
∴的伴随直线为：
将点代入得，
∵，
∴
解得：或
【小问3详解】
∵抛物线的解析式为：，
∴其伴随直线为即，顶点坐标为，
∵抛物线顶点在第一象限，
∴，
联立抛物线与伴随直线的解析式为：，
解得：，，
∴，，
，令，
即，
解得：或，
∴，
∴，，，
∵，
∴
即，
解得：或（舍去），
∴当时，．
设的外接圆为，当与轴相切时，
在轴上任意取一点，连接交于一点，则，
∵，
∴当取得最大值，的外接圆与轴相切，
当时，则，，如图所示，此时，
设过，，的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设经过的外心的直线解析式为，
∵，，
∴中点坐标为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
∵轴，则，
∴设，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，在中，，，．点是边上的一个动点，以为圆心作半圆，与边相切于点，交线段于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）为半圆的切线，为切点，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据等边对等角得出，根据已知条件得出，即，进而即可得证；
（2）根据已知证明，得出，，由（1）的结论证明， ，，表示出，在中， ，根据，得出自变量的范围，即可求解；
（3）连接，依题意，，由（2）可得，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即
∵
∴
∵，即
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵， ，
∴，
∴，
∵，，，
∴根据勾股定理，得，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∵
∴，，
∵，，
在中，
∵
∴
∵
∴
解得：
∴
当时，点在线段上，
即
则，
综上所述，；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵BM为半圆O的切线，M为切点，
∴
由（1）可得；
又,
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴，
，
∴，
在中，，
∵，
解得：．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质，三角函数关系是解题的关键。一分钟跳绳个数（个）
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