2023年广东省广州市第一中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省广州市第一中学中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市第一中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A．B．C．D．
2．下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（   ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（    ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形内接于，如果，则的度数是（    ）

A．B．C．D．
5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清洒有斗，那么可列方程为（    ）
A．B．
C．D．
6．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（    ）
A．众数是5B．平均数是7C．中位数是5D．方差是1
7．如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（    ）

A．B．C．D．
8．如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（    ）

A．B．或C．D．或
9．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（    ）

A．B．
C．D．
10．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    )

A．4B．3C．2D．1

二、填空题
11．计算：______．
12．科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
13．分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
14．已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为____．
15．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是______．

16．如图，中，，，，点，分别在，上，．把绕点旋转得到(点、分别与点、对应)，点落在线段上．若平分，则______．


三、解答题
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

18．如图，平行四边形中，点E、F分别在、上，且．求证：．

19．已知：．
(1)化简
(2)若、是矩形两条对角线的长，且该矩形的对角线长为，求的值．
20．春笋含有丰富的营养成分，是春天的重要食材．今年4月初，某蔬菜批发市场一店主张先生用2000元购进一批春笋，很快售完；张先生又用3200元购进第二批春笋，所购春笋的重量是第一批的2倍，由于进货量增加，第二批春笋的进价比第一批每千克少2元，求第一批春笋每千克进价多少元？
21．吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1500名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
  
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次抽取调查的学生共有______人，其中“了解较多”的占______%；
(2)请补全条形统计图；
(3)估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有______人；
(4)“了解较少”的四名学生中，有3名学生，，是初三学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初二、初三学生各1名的概率．
22．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点，点D是线段AC上任意一点，连接．

(1)求m的值及直线的解析式；
(2)将绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在反比例函数的图象上，求点D的坐标．
23．如图，已知，，．

(1)在边上求作点，连接，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）问图中，若，
①求；
②已知经过点的圆与相切于点，求劣弧的长．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图①，在四边形中，，，．
  
(1)求的度数；
(2)如图②，为线段的中点，连接，求证：；
(3)如图③，若，线段上有一动点，连接，将沿所在直线翻折至的位置，为的对应点，连接，，请直接写出的最小值．

参考答案：
1．B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．A
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，熟练掌握是解题的关键．
4．C
【分析】根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．A
【分析】设清洒有斗，则醑酒有斗，然后根据一共有30斗谷子列出方程即可．
【详解】解：设清洒有斗，
由题意得，，
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
6．A
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定．
【详解】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故A正确；
这组数据的平均数为：(吨)，故B不正确；
这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数，第10个数据为4，第11个数据为5，故这组数据的中位数为：，故C不正确；
这组数据的方差为：，故D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，是解决本题的关键．
7．B
【分析】根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
斜边为：，
，
，

．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键．
8．D
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
9．C
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．
【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m•tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
选项D正确.
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10．A
【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①；
将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，

四边形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可证，
，
，
，
，故①正确；
如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，
由旋转知：，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四边形是正方形，
．
由旋转知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可证：
，

即为直角三角形，故②正确；

，
，
又，
由①可知：，
，
，
又，
，故③正确；
如图中，

旋转到，，
，，
同理②中可证：，
，设，
，，
四边形是正方形，
，
，
在中，根据勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的边长为；
由正方形的边长为，
，

由①可知，
，，
由②得，
设，
，，
，
，
解得，
，故④正确
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．
【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
13．x（x﹣3）2
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2

14．
【分析】将代入抛物线中，可得，即抛物线解析式为：，根据轴，可得，令，解方程即可求解．
【详解】将代入抛物线中，可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：，
∵轴，，
∴，
当时，，
解得：，或者，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据轴，得出，是解答本题的关键．
15．
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，可求出，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，过圆心O，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
即，
∵，过圆心O，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
16．
【分析】先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定定理得出，由，可得，再由点在的平分线上，得出，故，．在中根据勾股定理可知，故可得出的值，进而得出结论．
【详解】解：连接，

在中，，，
，
，
，
点在的平分线上，
，
，
，
，



设，则，在中，
又
，  
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式的解集为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键．
18．见解析
【分析】平行四边形的性质得到，进而推出，得到四边形是平行四边形，即可得到．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
∴
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据乘法公式，单项式乘多项式及合并同类项运算法则可得出答案；
（2）由矩形的性质得出，代入（1）中化简得出的式子可得出答案．
【详解】（1）解：

；
（2）解：∵、是矩形ABCD两条对角线的长，且矩形的对角线长为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了整式的运算，乘法公式，单项式乘多项式，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质、多项式的化简是解题的关键．
20．第一批春笋每千克进价元
【分析】设第一批春笋每千克进价元，根据题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：设第一批春笋每千克进价元，根据题意，得，

解得：，
经检验是原方程的解，
答：第一批春笋每千克进价元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21．(1)50，；
(2)见解析；
(3)1170；
(4)图见解析，；

【分析】（1）利用“了解较少”的人数除以其所占的比例求得抽取调查的总人数，再利用“了解较多”的人数除以抽取调查的总人数即可求得其所占的百分比；
（2）先利用总人数减去其他项的人数求得“基本了解”的学生人数，再补全条形统计图即可；
（3）先利用“非常了解”和了解较多的学生总人数除以抽取调查的总人数求得其所占的百分比，再乘以学校的总人数即可求解；
（4）列表得出所有可能的结果，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽取调查的学生共有：（人），“了解较多”的占；，
故答案为：50，；
（2）解：“基本了解”的人数为：（人），补全条形统计图如下：
  
（3）解：（人），
故答案为：1170；
（4）解；列表如下：




B















B




共有12种等可能的结果，恰好抽到初二、初三学生各1名有6种可能的结果，
∴恰好抽到初二、初三学生各1名的概率为：；
【点睛】本题考查样本估计总体，条形统计图，列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)，
(2)或

【分析】（1）把点代入可求出的值，确定点的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式；
（2）根据旋转的性质可知，，，利用全等三角形的判定和性质得出，，设出点的坐标，表示出点的坐标，再得出反比例函数关系式求解即可．
【详解】（1）解：把点代入得，
，
点，
设直线的关系式为，将，代入得，
，
解得，
直线的关系式为，
∴，；
（2）如图，逆时针旋转后，点的对应点为，点在反比例函数的图象上，
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，

，
，
又，
，
，，
，
，，
由于点在直线上，可设点，
即，，
点，
又点在的图象上，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提．
23．(1)见解析
(2)①；②

【分析】（1）作的垂直平分线交于，交于，则，所以；
（2）①过点作于，垂直于，如图，则，，利用含度角的直角三角形三边的关系得到，则，所以，再计算出，则，，然后中利用正切的定义计算出CH=6，然后根据三角形面积公式计算出；
②先根据切线的性质得到，再证明为等边三角形得到，，然后利用弧长公式计算．
【详解】（1）如图，作的垂直平分线，交于点，点为所作；

（2）①过点作于，垂直平分于，如图，


在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
②如图所示，

圆与相切于点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
∴．
【点睛】】本题考查了作垂直平分线，圆周角定理、切线的性质和解直角三角形，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)点或

【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可；
（2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点作交于点，

∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）如图1中，连接．求出，，可得结论；
（2）如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接．证明，推出，再证明，推出，可得结论；
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接．．证明，推出，推出，推出，由，推出当点与重合时，的值最小，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，连接．
  
，，
是等边三角形，
，，
，，
，，，
，
；
（2）证明：如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接．
    
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，，  
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，在上取一点，使得，连接，
  
，
，，
，
点在上运动，设交圆弧于点，连接．
，，，
，
，
，
，
，
，  
，
，
当点与重合时，的值最小，
，

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．