长春市第二实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，则集合M的真子集个数为( )
A.32B.31C.16D.15
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．下列命题中正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，，则
4．已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
7．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是( )
A.B.C.D.
8．若，则下列结论中正确结论的个数为( )
①；
②；
③若，则；
④若且，则；
⑤存在且，满足.
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9．下列各组函数中，与表示同一函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
10．已知函数，下列关于函数的结论正确的是( )
A.的定义域是RB.的值域是
C.若，则D.的图象与直线有一个交点
11．已知x，y为正实数，，则( )
A.的最大值为1B.的最小值3
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．若，则________.
13．已知，，，则的取值范围为________.
14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式.求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.
四、解答题
15．已知集合.
（1）若A中没有元素，求实数a的取值集合；
（2）若A中只有一个元素，求实数a的取值集合.
16．设集合，，.
(1)当时，求，及；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
17．二次函数满足且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知，
（1）若时，当时，求的最小值.
（2）求关于x的不等式的解集.
19．已知二次函数，.
(1)若在的最大值为1，求实数a的值；
(2)若，当时，对，，使得，求正实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：集合，元素个数为4个，故集合M的真子集个数为.
故选：D.
2．答案：D
解析：命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词命题，所以命题“，”的否定是：，
故选：D
3．答案：C
解析：对于选项A，当时，，所以选项A错误；
对于选项B，当，时，满足，但，所以选项B错误；
对于选项C，若，则，即，所以选项C正确；
对于选项D，若，，即，则，所以选项D错误，
故选：C.
4．答案：A
解析：关于x的一元二次不等式的解集为，
则，且，7是一元二次方程的两根，
于是解得
则不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为的定义域为，
即，则，
对于函数，由，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”,
所以：“一元二次方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“”,即选项D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：显然，.
当时，
，
令，
当时，，，
当且仅当，时，等号成立；
当x<0时，，，
且.当且仅当，时，等号成立.
综上所述，的值域为
所以，根据高斯函数的定义，函数的值域是
故选：C.
8．答案：C
解析：若，
对于①，，①正确；
对于②，当，，中时，，所以，②正确；
对于③，若，不妨设，，
则，，，所以，③正确；
对于④，若且，不正确，
例如，，，④不正确；
对于⑤，存在且，满足，
例如，，
若，
则，故，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对于选项A，，，定义域都为R，解析式相同，是同一函数，故A正确；
对于选项B，的定义域为R，，则，
故的定义域为，所以不是同一函数，故B错误；
对于选项C，、的定义域都为R，且，所以是同一函数，故C正确；
对于选项D，由，解得，的定义域为，
由，解得或，定义域不同，所以不是同一函数，故D错误，
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：A选项，的定义域是，所以A选项错误.
B选项，当时，，
当时，，，
所以的值域是，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若，
则，解得，所以C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.
故选：BCD
11．答案：ABD
解析：因为x，y为正实数，，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
，当且仅当时取等号，B正确；
，当且仅当时取等号，C错误；
令，，
则
，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，D正确.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：因为，即，
所以，故，所以.
故答案为：2.
13．答案：
解析：，，
解得，
则，
，，
，，
，
即，
的取值范围为.
故答案为：.
14．答案：
解析：，，
则，
故，
当且仅当，即时取等号，
故三角形面积的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）对于方程，若，则，不合题意，故，此时方程是关于x的一元二次方程.集合A中没有元素，则，即.所以实数a的取值集合为.
（2）对于方程，若，则，符合题意；
若，方程是关于x的一元二次方程.A中只有一个元素，即，即.
综上，实数a的取值集合为.
16．答案：(1)，，或；
(2)或.
解析：（1）当时，，故或，
而，
故，，或；
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可知B是A的真子集，
故当时，，可得，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上可得，m的取值范围为或.
17．答案：(1)；
(2).
解析：（1）由题意，设，
则.
从而，，
又，
，解得，
又，.
（2）由（1）及，
令，，
则当时，为减函数，
当时，，
从而要使不等式恒成立，则.
故实数m的取值范围是.
18．答案：（1）4；
（2）答案不唯一，见解析
解析：(1)若时，
，当且仅当，即时取得等号.
故的最小值为4.
(2)①当时，不等式的解为.
②当时，令解得，.
当时，，解得.
当时，，不等式的解集为R.
当且时，由基本不等式得，解得或.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为R；
当且时，不等式的解集为.
19．答案：(1)或
(2)
解析：（1），，图象开口向下，对称轴为，
①当，即时，在区间上单调递减，
则时，有最大值，得到，
②当时，即时，
则时，有最大值，解得，
又，所以都不符合题意，
③当，即时，在区间上单调递增，
则时，有最大值，得到，
综上所述：或.
（2）当时，，对称轴为，且，，
对任意的，，
当时，在上单调递增，
又，，则，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，
所以，解得，
所以正实数m的取值范围是.