第27章 圆-圆中辅助线的作法 华东师大版九年级下册专题训练2(含答案)

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专题训练四　圆中辅助线的作法遇弦添加弦心距或半径1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点,C、D是半径为1的☉O上两动点,且CD=2,P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是 (　　)A.8 B.6 C.4 D.32.如图,将半径为3 cm的圆形纸片折叠后,劣弧中点C恰好与圆心O距离1 cm,则折痕AB的长为　　　　cm. 3.如图,某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24 m,AB离地面的高度AE为10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M、N处安装照明灯,且M、N离地面的高度相等都等于17 m,求MN的长.　　　遇直径构造直径所对的圆周角4.如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若∠BAC=40°,则∠BAD的度数是　　 　°. 5.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,若∠ABD=62°,则∠C的度数是　　　　. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连结BE.(1)求证:BD=CD;(2)若tan C=12,BD=4,求AE的长.7.如图,AB是☉O的直径,D、E为☉O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使得CD=BD,连结AC交☉O于点F,连结AE、DE、DF.(1)求证:∠CFD=∠C;(2)若∠E=50°,求∠BDF的度数;(3)设DE交AB于点G,若DF=6,cos B=23,∠BDE=45°,求EG·ED的值.遇切线,连结圆心和切点8.如图,菱形OABC的顶点A、B、C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D,若☉O的半径为1,则BD的长为 (　　)A.1 B.2 C.2 D.39.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD长为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若ABCD=13,则sin C的值是 (　　)A.23 B.53 C.34 D.7410.如图,AB是☉O的直径,CD与AB相交于点E,过点D的切线DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD.(1)求∠F的度数;(2)若DE·DC=8,求☉O的半径.11.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C作☉O的切线l,过点B作BD⊥l于点D.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)连结OD,若∠ABD=60°,CD=3,求OD的长.【详解答案】1.D　解析:如图,作OQ⊥AB于点Q,连结OP、OD、OC,∵CD=2,OC=OD=1,∴OC2+OD2=CD2,∴△OCD为等腰直角三角形.由y=-x-2,得点A(-2,0),B(0,-2),∴OA=OB=2,∴△OAB为等腰直角三角形.∴AB=22,OQ=2.由题意,得当P、O、Q共线,且点O在线段PQ上时,S△ABP最大,∵P为CD中点,∴OP=22.∴PQ=OP+OQ=322,∴S△ABP的最大值=12AB·PQ=3.故选D.2.25　解析:如图,取AB的中点D,根据圆的对称性和折叠的性质可知点O、C、D共线,作直线OC,交AB于点E,连结BO,根据题意可知OB=3 cm,OE=2 cm,∵点D是AB的中点,∴OE⊥AB.在Rt△OBE中,根据勾股定理,得BE=OB2-OE2=5 cm.∵OE⊥AB,∴AB=2BE=25(cm).3.解:如图,设CD与AB交于点G,与MN交于点H, 连结OM、OA,∵CD=18 m,AE=10 m,AB=24 m,HD=17 m,∴CG=8 m,AG=12 m,CH=1 m,设圆拱的半径为r m,在Rt△AOG中,OA2=OG2+AG2,∴r2=(r-8)2+122.解得r=13,∴OC=13 m,∴OH=13-1=12(m).在Rt△MOH中,OM2=OH2+MH2,∴132=122+MH2.解得MH=5(负值舍去).∴MN=10 m.4.20　解析:连结AD(图略),∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20°.5.28°　解析:如图,连结AD,∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.∵∠ABD=62°,∴∠D=90°-∠ABD=28°.∴∠C=∠D=28°.6.(1)证明:如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.又∵AB=AC,∴BD=CD.(2)解:∵BD=CD=4,∴BC=BD+CD=8.在Rt△ADC中,tan C=ADCD=12,∴AD=CD·tan C=4×12=2.∴AC=AD2+CD2=22+42=25.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵∠AEB=∠ADC=90°,∠C=∠C,∴△CEB∽△CDA.∴CECD=BCAC.∴CE4=825.∴CE=1655.∴AE=CE-AC=655.∴AE的长为655.7.(1)证明:如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.∵CD=BD,∴AD垂直平分BC.∴AB=AC.∴∠B=∠C.∵∠B=∠AED,∴∠AED=∠C.∵四边形AEDF是☉O的内接四边形,∴∠AFD+∠AED=180°.∵∠AFD+∠CFD=180°,∴∠CFD=∠AED.∴∠CFD=∠C.(2)解:∵∠C=∠CFD=∠AED=50°,∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.(3)解:如图,连结OE,∵∠CFD=∠AED=∠C,∴DF=CD=BD=6.在Rt△ABD中,cos B=23,BD=6,∴AB=9.∴AO=BO=92.∵∠BDE=45°,∴∠BOE=∠AOE=90°.∵AO=OE=92,∴AE=922.∵∠AOE=90°,∴∠ADE=∠GAE=45°.∴△AEG∽△DEA.∴AEEG=DEEA,即EG·ED=AE2=812.8.D　解析:如图,连结OB,∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB.∴∠AOB=60°.∵BD是☉O的切线,∴∠OBD=90°.∵OB=1,∴BD=OB·tan∠DOB=3OB=3.故选D.9.B　解析:如图,连结DB、DE,设AB=m,∵ABCD=13,∴CD=3AB=3m.∵AD是☉D的半径,AD⊥AB,∴AB是☉D的切线.∵☉D与BC相切于点E,∴BC⊥DE,EB=AB=m,∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=∠CDB.∴CB=CD=3m.∴CE=CB-EB=3m-m=2m.∵∠CED=90°,∴DE=CD2-CE2=(3m)2-(2m)2=5m,∴sin C=DECD=5m3m=53.故选B.10.解:(1)如图,连结OD,∵DF为☉O的切线,∴∠ODF=90°.∵DF∥AB,∴∠AOD=180°-∠ODF=90°.∴∠ACD=12∠AOD=45°.∵CF=CD,∴∠F=∠CDF=180°-45°2=67.5°.(2)如图,连结AD.∵OA=OD,∠AOD=90°,∴∠EAD=45°.∵∠ACD=45°,∴∠ACD=∠EAD.∵∠ADE=∠CDA,∴△DAE∽△DCA.∴DEDA=DADC.∴DA2=DE·DC=8.∵DA>0,∴DA=22.∵OA2+OD2=2OA2=DA2=8,OA>0,∴OA=2,即☉O的半径为2.11.(1)证明:如图1,连结OC.图1∵直线l与☉O相切于点C,∴OC⊥l于点C.∴∠OCD=90°.∵BD⊥l于点D,∴∠BDC=90°.∴∠OCD+∠BDC=180°.∴OC∥BD.∴∠OCB=∠CBD.∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.∴∠OBC=∠CBD.∴BC平分∠ABD.(2)解:如图2,连结AC.图2∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ABD=60°,∴∠OBC=∠CBD=12∠ABD=30°.在Rt△BDC中,∵∠CBD=30°,CD=3,∴BC=2CD=23.在Rt△ACB中,∵∠ABC=30°,∴AB=2AC.∵AC2+BC2=AB2,∴AB=4.∴OC=12AB=2.在Rt△OCD中,∵OC2+CD2=OD2,∴OD=7.