湖北树施州四校联盟2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题

这是一份湖北树施州四校联盟2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页, 22小题, 满分150分, 考试用时120分钟.
一、单选题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3. 已知直线, 互相垂直，则的值为（ ）
A．2B．1或-3C．-3 D． 0或2
4. “=2”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知，则（ ）
A. B．C． D．
7. 已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
8. 平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为2，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是（ ）
A. B. 16 C. D. 18
二、多选题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分．在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分．
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）
A. ，，B. ，， C. ，，D. ，，
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是 B．不等式的解集是
C．函数的图象关于对称 D．函数的值域是
11. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
12. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为
C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分．
13. 平面向量与的夹角为135°，已知，，则=.
14. 点到直线 ( 为任意实数)的距离的最大值是.
15. 设函数，若函数恰有4个零点，,,,，且，则的值为 .
16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则的取值范围是.
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
17.(10分)的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.
19.（12分） 一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到绿球的概率;
（2）如果是个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?
20.（12分）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
21.（12分）如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN平面BCDA，再将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.
图1 图2 图3
（1）如图2，当时，若点在MN上，且DM=1，，证明：平面并求AB.
（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
22.（12分）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
2023年春季学期高二年级期中联考
数学试卷答案
一、单选题：
1-8. D B D A B A A B
二、多选题：
9-12.ABDCDABDACD
三、填空题：
13-16.
四、解答题：
17.(10分)的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；
解：（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；(5分）
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；(10分）
18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.
解：（1）不妨设，当点运动到点时，直线的斜率为，(2分）
当点运动到点时，直线的斜率为，(4分）
若点在线段上运动，则直线的斜率的取值范围为(6分）
（2）当截距为均为0时，直线方程为，符合题意(8分）
当截距不为0时，不妨设直线方程为(10分）
又直线经过点，故，即
所以直线方程为(12分）
19.（12分） 一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到绿球的概率;
（2）如果是6个绿球,个红球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么是多少?
解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有 (种)可能, 即 (1分）
设事件=“两次取出的都是红球”, 则，设事件=“第一次取出红球, 第二次取出绿球”，则，设事件=“第一次取出绿球, 第二次取出红球”则.设事件=“两次取出的都是绿球”则,且事件两两互斥(3分）
第二次取到绿球的概率为(6分）
（2），
(8分）
又(10分）
或-14，即(12分）
20.（12分）20.（12分）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
解：（1），由正弦定理得，，
，即．(5分）
又，．(6分）
（2）由正弦定理，有，
，，(8分）
又，，
，(10分）
的面积为．(12分）
21.（12分）如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN平面BCDA，再将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.
图1 图2 图3
（1）如图2，当时，若点在MN上，且DM=1，，证明：平面并求AB.
（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
解：（1）点在平面ABCD上的射影为O，则点O恰好落在边AD上，平面平面ACD，又，平面，，又，平面(3分）
设，，则，，∽，，在Rt中，,(5分）
解得(6分）
作，交AC于E，交AD于F，
当点O恰好落在的内部不包括边界，点O恰好在线段EF上，又，，为二面角的平面角,(8分）
当时，由,可得，且，(10分）
，故二面角的余弦值的取值范围为(12分）
22.（12分）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
证明：(1)因为，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
(2)由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.