湖北术西北六校2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题含解析

这是一份湖北术西北六校2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将中式子代入集合中,求出，则交集的元素可求.
【详解】令，可得，
又，可得，则，
可得.
故选：A.
2. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A. ，
B，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错；
B选项，因为的定义域为，的定义域也为，且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；
C选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错；
D选项， 因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，
即不等式的解集为，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4. 设，，则有（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作差法比较大小即可.
【详解】，
，
故选：A
5. 若，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将化简得，利用作差法、基本不等式和绝对值性质判断即可.
【详解】因为，所以，
对于A，因为，，即，故A错误；
对于B，因为，，即，故B正确；
对于C，因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，，即，故D错误.
故选：B.
6. 已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断出在上单调递增，再由函数在上为偶函数，得到，将代入解题即可.
【详解】因为对任意的满足，所以在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，且，
所以，所以，解得或.
故选：C
7. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，代入，利用基本不等式的性质即可得出.
【详解】因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，则此三角形面积的最大值为12.
故选：C
8. 已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】因为函数的定义域为R，所以的值域是R，
当时，，
故当时，的值域为，所以，
所以，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 至少有一个整数，使得为奇数
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据存在量词的命题的否定判断A，判断是偶数可判断B，根据必要条件的概念可判断C，根据方程根的分布求出参数范围判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定为命题“，”.
正确；
对于B，，若为奇数，则为偶数，则为偶数，
若为偶数，则为偶数，所以一定是偶数，错误；
对于C，不能推出，也不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，错误；
对于D，若关于的方程有一正一负两个根，
则，解得，
所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，正确.
故选：AD
11. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. 的对称轴为直线
B. 的对称轴为直线
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.
【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数的对称轴为直线，故A错误；
B：由选项A可知，B正确；
C：因为函数的对称轴为直线，所以，
又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；
D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，
所以函数在上单调递减，且，
由，得，即，解得，故D正确.
故选：BD.
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，则的最小值为
B. 若正数x、y满足，则的最小值为9
C. 若正数x、y满足，则的最小值为3
D. 设x、y为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以，
所以，
所以函数的值域为，故A错误；
对于B，若正数x、y满足，
可得，当且仅当时等号成立，
令，
则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确；
对于C，若正数x、y满足，则，
则
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确；
对于D，，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，若，则实数的值为________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可.
【详解】因为，，
所以或，解得或.
当时，，不符合元素的互异性，舍；
当时，，符合题意.
综上，.
故答案为：
14. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可.
【详解】由不等式的解集为，则，
则，则，即为，
解得：.
故答案：
15. 正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围______
【答案】
【解析】
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.
【详解】因为且，是正数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，解得.
故答案为：
16. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据函数是奇函数求出时，，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.
【详解】设，则，
，
由为奇函数，可得，
故当，，
对称轴方程为，
所以时，，
设是在上的“倒值区间”，则值域为，
所以，即，
所以在上单调递减，
，即，
解得，
所以函数在上的“倒值区间”为.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.
小问1详解】
因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
18. 已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）．
【解析】
【分析】（1）分类讨论和两种情况，分别求出对应m的取值范围即可；
（2）由题意可得且，列出不等式组，解之即可求解.
【小问1详解】
当时，由，得，符合题意；
当时，可得或，解得．
综上，实数的取值范围是或．
【小问2详解】
由题意可知且.
可得解得，
综上，实数的取值范围是．.
19. 已知二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求的值域.
【答案】19.
20. .
【解析】
【分析】（1）设二次函数的解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）当时，根据二次函数的性质即可求解；当时，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
设二次函数
因为，所以．
由，得，
得，
所以得，
故．
【小问2详解】
当时，，对称轴，
在上单调递增，；
当时，，
令，，则，
，对称轴，
该函数在上单调递增，所以当时，，
综上所述，的值域为.
20. 已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）解关于的不等式，其中.
【答案】（1）3，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；
（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以；
【小问2详解】
不等式0，即
当，，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集.
所以，当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为.
21. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元；
（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
【小问2详解】
依题意，时，不等式有解，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22. 已知函数，定义域为．
（1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）解不等式．
【答案】（1）在定义域为偶函数；在区间上单调递减，证明见解析.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；
（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得；
（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合列出不等式组即可.
【小问1详解】
在定义域为
因，所以为偶函数；.
在区间上单调递减，证明如下
设，
则
因，所以，，，
所以，
所以在区间上单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知在区间上单调递减，
所以，当时，取得最小值，
又，都有恒成立，
所以只需成立，即，
故实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）知，在定义域为偶函数且在区间上单调递减，
故由得，即，
解得，所以实数的取值范围为