浙江省杭州市六校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份浙江省杭州市六校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷-A4，共21页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，仔细做一做等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖
B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D．三角形两边之和大于第三边
3．（3分）一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）把二次函数y＝3x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣2B．y＝3（x+2）2+2
C．y＝3（x﹣3）2﹣2D．y＝3（x﹣3）2+2
5．（3分）如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D＝36°，则∠BCA的度数是（ ）
A．72°B．54°C．45°D．36°
6．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+4）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝4
B．顶点坐标为（4，2）
C．函数图象经过点（0，﹣14）
D．当x＜﹣4时，y随x的增大而减小
7．（3分）⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．54°B．54或126°
C．126°D．108°或252°
8．（3分）已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）是抛物线y＝x2+2x+1上的点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（ ）
A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°
C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），有以下结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+a＞0；其中正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、细心填一填（本题有6个小题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＝1时，y＝ ．
12．（3分）在﹣4，﹣2，1，2四个数中，随机取一个数作为函数y＝ax2中a的值，使该二次函数图象开口向上的概率为 ．
13．（3分）正六边形的每个内角的度数是 度．
14．（3分）半径为3cm，圆心角为60°的扇形面积是 ．
15．（3分）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，半径为4，若的度数为60°，的度数为120°，的度数为60°，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则线段EF＝ ．
三、仔细做一做（本题有8个小题，共72分，解答需要写出必要的过程和文字说明．）
17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x．
（1）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）求二次函数的顶点坐标．
18．（6分）一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是 ．
（2）若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率．
19．（8分）如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求点A经过的路径长．
20．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，6）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）﹣2≤x≤3时，求y的取值范围．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD//BC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长．
22．（10分）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
23．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．
（1）当m＝1时，求该函数的表达式；
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）求该函数的最大值．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．每题只有一个正确答案）
1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖
B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解；A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球是不可能事件，不符合题意；
C、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
D、三角形两边之和大于第三边是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为30°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．（3分）把二次函数y＝3x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣2B．y＝3（x+2）2+2
C．y＝3（x﹣3）2﹣2D．y＝3（x﹣3）2+2
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：把二次函数y＝3x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是y＝3（x﹣3）2+2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5．（3分）如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D＝36°，则∠BCA的度数是（ ）
A．72°B．54°C．45°D．36°
【分析】根据圆周角定理求出∠B的度数，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠BAC的度数，得到答案．
【解答】解：∠B＝∠D＝36°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等和径所对的圆周角是直角是解题的关键．
6．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+4）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝4
B．顶点坐标为（4，2）
C．函数图象经过点（0，﹣14）
D．当x＜﹣4时，y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣4，故A错误；
∴顶点坐标为（﹣4，2），故B错误；
当x＝0时，y＝﹣（0+4）2+2＝﹣14，故C正确；
∵﹣1＜0
∴开口向下，
∴当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
7．（3分）⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．54°B．54或126°
C．126°D．108°或252°
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，
∴180°×＝54°或180°×＝126°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为54°或126°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）是抛物线y＝x2+2x+1上的点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
【分析】根据函数解析式得出抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点是（0，y1），
又∵﹣1＜0＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（ ）
A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°
C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝β，
∴∠BCD＝90°﹣β，
∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，
∴γ＝α+90°﹣β，
即γ+β﹣α＝90°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），有以下结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+a＞0；其中正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a+c＜2b，故②正确，符合题意；
∵该函数图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵b＝a﹣am＝a（1﹣m），
∴b＝（b﹣c）（1﹣m），
整理得：，
故③正确，符合题意；
抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），
则a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，
则am2+bm+b＝a，
若am2+（2a+b）m+a+b+a＝2am+3a＞0，
则m＜﹣与图象不符，故④错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、细心填一填（本题有6个小题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＝1时，y＝ 2 ．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），
∴当x＝1时，y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线的开口方向、对称轴、抛物线增减性及函数的最值等知识．
12．（3分）在﹣4，﹣2，1，2四个数中，随机取一个数作为函数y＝ax2中a的值，使该二次函数图象开口向上的概率为 ．
【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中使该二次函数图象开口向上的结果有2种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中使该二次函数图象开口向上的结果有：1，2，共2种，
∴使该二次函数图象开口向上的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、概率公式，熟练掌握二次函数的性质、概率公式是解答本题的关键．
13．（3分）正六边形的每个内角的度数是 120 度．
【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题．
14．（3分）半径为3cm，圆心角为60°的扇形面积是 π cm2 ．
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：半径为3cm，圆心角为60°的扇形面积是＝π（cm2）．
故答案为：π cm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式．
15．（3分）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A（0，3），B（1，0），C（3，0），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为 3 ．
【分析】比较a的大小，通过正负先排除开口向下的情况，根据|a|越大，开口越小，确定过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
【解答】解：由图可知，
过点A，C，D和过点B，C，D的二次函数开口向下，a＜0，故排除开口向下这种情况，
∵|a|越大，开口越小，
∴当a＞0时，开口小的那个a最大，
由图可知，过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
把A（0，3），B（1，0），D（2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数图象和性质，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
16．（3分）如图，在⊙O中，半径为4，若的度数为60°，的度数为120°，的度数为60°，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则线段EF＝ 2 ．
【分析】连接OE、OF，过F点作FH⊥OE于H，根据圆心角定理得到∠AOB＝60°，∠COD＝120°，∠BOD＝60°，再利用垂径定理得到OE⊥AB，OF⊥BD，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OE、OF、HF、OH，然后利用勾股定理计算EF的长．
【解答】解：连接OE、OF，过F点作FH⊥OE于H，如图，
∵的度数为60°，的度数为120°，的度数为60°，
∴∠AOB＝60°，∠COD＝120°，∠BOD＝60°，
∴∠A＝∠B＝60°，∠D＝30°，
∵点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，
∴OE⊥AB，OF⊥BD，
∴∠BOE＝30°，∠DOF＝60°，
∴∠EOF＝30°+60°+60°＝150°，
∴∠FOH＝30°，
在Rt△AOE中，
∵AE＝OA＝2，
∴OE＝AE＝2，
在Rt△ODF中，OF＝OD＝2，
在Rt△OFH中，
∵HF＝OF＝1，
∴OH＝HF＝，
∴EH＝OE+OH＝2+＝3，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，根据弧的度数求出圆心角的度数是解题的关键．
三、仔细做一做（本题有8个小题，共72分，解答需要写出必要的过程和文字说明．）
17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x．
（1）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）求二次函数的顶点坐标．
【分析】（1）令y＝0求出x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标；
（2）将函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的顶点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x＝x（x﹣4），
∴当y＝0时，x＝0或x＝4，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（0.0）、（4，0）；
（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（2，﹣4）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．（6分）一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是 ．
（2）若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出一个白球的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出一个白球的结果有1种，
∴摸出一个白球的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出都是红球的结果有4种，
∴两次摸出都是红球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（8分）如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求点A经过的路径长．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO′＝5，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5．
（2）＝1.25π，
答：点A经过的路径长为1.25π．
【点评】本题考查的是旋转的性质以及轨迹，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质．
20．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，6）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）﹣2≤x≤3时，求y的取值范围．
【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组得到b、c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质得到当x＝﹣1时，y有最小值2，再分别计算出自变量为﹣2和3所对应的函数值，从而得到当﹣2≤x≤3时，y的取值范围．
【解答】解：把（0，3），（1，6）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x+3；
（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，最小值为2，
∵x＝﹣2时，y＝x2+2x+3＝3，
x＝3时，y＝x2+2x+3＝18，
∴当﹣2≤x≤3时，y的取值范围为2≤y≤18．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD//BC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长．
【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案．
【解答】解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝8，
∴AE＝CE＝AC＝4，
∵DE＝2，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝2×（5﹣2）＝6．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键．
22．（10分）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
【分析】任务1：易得抛物线的顶点坐标为（6，18），用顶点式设出抛物线解析式，把（0，0）代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式；
任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可；
任务3：设PQ的长度为c．那么水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围．
【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16），
∴抛物线的顶点坐标为（6，18）．
设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18．
∵抛物线经过点（0，0），
∴36a+18＝0．
解得：a＝﹣．
∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18；
任务2：∵x＝3t，
∴t＝．
∴y＝﹣（﹣6）2+18
＝﹣x2+2x．
当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36．
答：水火箭飞行的水平距离为36米；
任务3：设PQ的长度为c．
∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．
①当抛物线经过点A时．
∵AP＝42m，
∴点A的坐标为（42，0）．
∴﹣×422+2×42+c＝0．
解得：c＝14．
②当抛物线经过点B时．
∵AP＝42m，．
∴BP＝（18+18）m．
∴点B的坐标为（18+18，0）．
∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0．
解得：c＝18．
∵水火箭落到AB内（包括端点A，B），
∴14m≤c≤18m．
∴14m≤PQ≤18m．
答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数经过点（x1，y），（x2，y），抛物线的对称轴为直线x＝；二次函数上下平移，只改变常数项，上加下减．
23．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．
（1）当m＝1时，求该函数的表达式；
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）求该函数的最大值．
【分析】（1）当m＝1时，A（1，0），B（4，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；
（2）利用交点式表示出抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），然后根据二次函数图象上点的坐标特征就行证明；
（3）利用配方法把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】（1）解：当m＝1时，A（1，0），B（4，0），
抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）证明：抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），
当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣m）（m+1﹣m﹣3）＝2，
所以该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3）
＝﹣x2+（2m+3）x﹣m2﹣3m
＝﹣（x﹣）2+，
所以当x＝时，二次函数有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB；则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM+DM＝12，
∴AB＝AD＝12＝24，
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
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飞行高度y/m
0
10
16
18
16
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红
红
白
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（红，红）
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