广东省揭阳市八校联考2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷-A4

这是一份广东省揭阳市八校联考2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80∘，点E在对角线BD上，且BE=BA，那么∠AEB的度数是( )
A. 80∘
B. 70∘
C. 60∘
D. 40∘
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=2，∠AOB=60∘，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，则AE的长为( )
A. 3
B. 7
C. 7或 3
D. 6
3.在平面中，下列说法正确的是( )
A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线互相平分的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是正方形D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=60∘，BD=8，则AB的长为( )
A. 3B. 4C. 4 3D. 5
5.一元二次方程3x2−2x+1=0的二次项系数和常数项分别是( )
A. 3，−1B. −2，3C. 3，1D. 3，−2
6.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2−x1x2的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若x1，x2是一元二次方程x2−2x+1=0的两个实数根，则x1+x2−5x1x2的值为( )
A. −4B. −3C. 4D. −7
8.若x=2是一元二次方程x2+x−m=0的一个根，则m的值为( )
A. 4B. −4C. 6D. −6
9.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球( )
A. 16个B. 14个C. 20个D. 30个
10.掷两枚质地均匀的骰子，点数相同的概率是( )
A. 16B. 13C. 112D. 136
11.从367，3.1415926， 5，− 8四个数中随机抽取两个数，两个数都是无理数的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
12.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是( )
A. 14B. 12C. 34D. 1
13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠B=60∘，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F.若CD=1，则线段AF的长度为( )
A. 35
B. 45
C. 1
D. 65
14.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为( )
A. 6+3 2B. 4+2 2C. 6+2 3D. 15
15.如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G.过D作DF⊥AG于F.若2∠ADF=∠G，CE：BE=2：1，AD=2 10，AF=2，GE=4，则BA的长度为( )
A. 2 103
B. 4 103
C. 9
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边BC的一点，F是边CD上的一点，连接AE，AF，若∠EAF=45∘，AE= 5，则DF的长为______.
17.如图，锐角△ABC中，∠BAC=45∘，AD是BC边上的高，BD=2，CD=3，则AD=______.
18.一元二次方程x2−4x−12=0的两根分别是一次函数y=kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是____.
19.有三张正面分别标有数字−1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组3x−22b的解集中有且只有2个非负整数的概率为______.
20.小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”(如图所示)，山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则mn的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题11分)
如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE.
(1)求证：四边形ACED是矩形；
(2)若∠AOD=120∘，AC=4，求对角线CD的长．
22.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG//FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH、FG.
(1)求证：△BFH≌△DEG；
(2)连接DF，若BF=DF，判断四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论.
23.(本小题7分)
阅读下列材料，并解决问题：
①已知方程x2+3x+2=0的两根分别为x1=−1，x2=−2，计算：x1+x2=______，x1⋅x2=______
②已知方程x2−3x−4=0的两根分别为x1=4，x2=−1，计算：x1+x2=______，x1⋅x2=______
③已知关于x的方程x2+px+q=0有两根分别记作x1，x2，且x1=−p+ p2−4q2，x2=−p− p2−4q2，请通过计算x1+x2及x1⋅x2，探究出它们与p、q的关系.
24.(本小题7分)
已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+ m2− 14=0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
(3)如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且(x1−3)(x2−3)=5m，求m的值．
25.(本小题7分)
某校初三(1)班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
(1)初三(1)班接受调查的同学共有多少名；
(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
(3)若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
26.(本小题7分)
在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，
(1)分别求出摸出的球是红球和黄球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
27.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点(不与B、C重合)，点N在边CD延长线上，且满足∠MAN=90∘，联结MN，AC，MN与边AD交于点E.
(1)求证：AM=AN；
(2)如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2= 2AB⋅AE；
(3)MN交AC点O，若CMBM=k，则OMON=______(直接写答案、用含k的代数式表示).
28.(本小题7分)
如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80∘，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=40∘，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=12(180∘−40∘)=70∘，
故选：B.
先由菱形的性质得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=40∘，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∠ABC=90∘，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60∘，
∴△ABO是等边三角形，
∴OD=OB=OA=OC=AB=2，
①如图所示，当点E在OB上时，
∵OE=1，
∴OB=2OE，即点E是OB的中点，
∵△ABO是等边三角形，
∴AE⊥OB，
∴∠AEO=90∘，
∴AE= OA2−OE2= 3；
②如图所示，当点E在OD上时，过点A作AH⊥BD于点H，
∴∠AHE=90∘，由①可知，OH=OE=1，AH= 3，
∴HE=2，
∴AE= HE2+AH2= 7；
∴AE的长为 7或 3，
故选：C.
先证明△ABO是等边三角形，根据题意可分点E在OB上和点E在OD上两种情况解答即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质、等边三角形的性质与判定是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故正确；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故错误；
D、对角线互相垂直的四边形是菱形，故错误；
故选：A.
此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
本题考查了正方形、平行四边形、矩形以及菱形的判定．注意正方形是菱形的一种特殊情况，且正方形还是一种特殊的矩形．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD=8，
∴OA=OB=OC=OD=BD2=4，
∵∠AOB=60∘，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=4，
故选：B.
先由矩形的性质得出OA=OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可．
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：方程3x2−2x−1=0的二次项系数和常数项分别为3和1，
故选：C.
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出方程的二次项系数和常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
6.【答案】C
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−1，
∴x1+x2−x1x2=2−(−1)=3.
故选：C.
直接利用根与系数的关系作答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.
7.【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=1，
∴x1+x2−5x1x2=2−5×1=−3.
故选：B.
根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=1，代入所求代数式计算即可．
本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：把x=2代入一元二次方程得：22+2−m=0，
解得：m=6.
故选：C.
根据一元二次方程的解的概念，将x=2代入一元二次方程x2+x−m=0，即可解得答案．
本题考查了一元二次方程的解的概念，正确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：66+x=0.3，
解得：x=14.
故选B.
10.【答案】A
【解析】解：列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，
所以点数相同的概率=636=16.
故选：A.
先利用列表展示所有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，然后根据概率的概念计算即可．
本题考查了利用列表法或树状图求概率的方法：先利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算出这个事件的概率=mn.
11.【答案】D
【解析】解：367，3.1415926， 5，− 8四个数中是无理数的是 5，− 8，随机抽取两个数共有：367，3.1415926；367， 5；367，− 8；3.1415926， 5；3.1415926，− 8； 5，− 8共6种可能性，其中都是无理数的结果有1种，
∴P=16；
故选：D.
根据无理数的定义得到 5，− 8为无理数，再根据列举法求出所有可能性，利用概率公式进行求解即可．
本题考查列举法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
12.【答案】A
【解析】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是14.
故选：A.
首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏地列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】D
【解析】解：∵∠DAB=∠B=60∘，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=30∘，
∵AD⊥CD，CD=1，
∴AD= 3，AC=2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB=∠B=60∘，
∴∠G=60∘，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB=AC÷cs30∘=4 33，
连接EC，
∵E为AB边的中点，
∴EC=12AB=2 33，
∵C为GB的中点，
∴EC//AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴FCFA=ECAD=23，
∴AF=35AC=65.
故选：D.
延长AD、BC交于点G，可得△ABG为等边三角形，连接EC，证明EC是三角形ABG的中位线，证明△EFC∽△DFA，进而可得线段AF的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，特殊角三角函数值，解决本题的关键是证明△EFC∽△DFA.
14.【答案】A
【解析】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，
∴正方形EFGH的边长是a−b，
∵正方形EFGH的面积为3，
∴(a−b)2=3，
∴a2+b2−2ab=3，
∵AH平分∠DAN，
∴∠DAH=∠NAH，
∵∠AHD=∠AHN=90∘，AH=AH，
∴△AHD≌△AHN(ASA)，
∴DH=NH=b，
∵AH//CF，
∴∠HAM=∠FCM，
∵FC=AH，∠CFM=∠AHN=90∘，
∴△AHN≌△CFM(ASA)，
∴FM=NH=b，
∴EM=a−b−b=a−2b，
∵ME//HN，
∴△AME∽△ANH，
∴ME：NH=AE：AH，
∴(a−2b)：b=b：a，
∴a2−b2=2ab，
∴b2=32，
∴b= 62，
∵(a−b)2=3，
∴a=2 3+ 62，
∴AD2=a2+b2=6+3 2，
∴正方形ABCD的面积是6+3 2.
故选：A.
设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，得到(a−b)2=3，由△AHD≌△AHN(ASA)，得到DH=NH=b，由△AHN≌△CFM(ASA)，得到FM=NH，因此EM=a−b−b=a−2b，由△AME∽△ANH，得到a2−b2=2ab，即可求出a，b的值，由勾股定理即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题．
15.【答案】C
【解析】解：如图，设∠FDA=α，则∠G=2α，
∵DF⊥AG，
∴∠AFD=90∘，
∴∠A=90∘−α，
∴∠ADG=180∘−2α−(90∘−α)=90∘−α，
∴∠ADG=∠A，
∴GA=GD，
∵AD=2 10，AF=2，
∴DF=AD AD2−AF2= 40−4=6，
设GD=x，
∴GF=AG−AF=DG−AF=x−2，
在Rt△GFD中，根据勾股定理得：GD2=GF2+DF2，
∴x2=(x−2)2+62，
∴x=10，
∴GD=10，
∵GE=4，
∴DE=GD−GE=6，
过点B作BQ//GD交AC于点Q，
∴△BQC∽△EDC，
∴CEBC=DEBQ，
∵CE：BE=2：1，
∴23=6BQ，
∴BQ=9，
∵GA=GD，
∴∠A=∠GDA，
∵BQ//GD，
∴∠BQA=∠GDA，
∴∠A=∠BQA，
∴AB=BQ=9，
故选：C.
设∠FDA=α，则∠G=2α，然后证明GA=GD，设GD=x，利用勾股定理列出方程求出x=10，过点B作BQ//GD交AC于点Q，得△BQC∽△EDC，对应边成比例代入值求出BQ=9，然后证明AB=BQ，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BQC∽△EDC.
16.【答案】23
【解析】解：如图，连接EF，延长FD到点G，使得DG=BE，连接AG.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90∘.
∵AE= 5，
在Rt△ABE中，BE= AE2−AB2= ( 5)2−22=1，
∴CE=BC−BE=2−1=1.
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG.
∵∠BAD=90∘，∠EAF=45∘，
∴∠BAE+∠DAF=90∘−45∘=45∘，
∴∠FAG=45∘，
∴∠EAF=∠FAG.
在△AEF和△AGF中，
AE=AG∠EAF=∠FAGAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG.
设DF=x，
∵DG=BE=1，
∴EF=FG=1+x.
∵CE=1，CF=2−x，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴(x+1)2=12+(2−x)2，
解得x=23，
∴DF=23，
故答案为：23.
连接EF，延长FD到点G，使得DG=BE，连接AG.根据正方形的性质和勾股定理求出BE=1，CE=1.证明△ABE≌△ADG，得到∠BAE=∠DAG，AE=AG.进而证得△AEF≌△AGF，得到EF=FG.设DF=x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，证得△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF是解决问题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC，
∵∠BAC=45∘，
∴∠BOC=90∘，
在Rt△BOC中，BD=2，CD=3，
∴BC=2+3=5，
∴BO=CO=5 22，
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE=12BC=52，
在Rt△BOE中，BO=5 22，BE=52，
∴OE=BE=52，
∵∠OED=∠EDF=∠OFD=90∘，
∴四边形OEDF是矩形，
∴DF=OE=52，OF=DE=BE−BD=52−2=12，
在Rt△AOF中，AO=5 22，OF=12，
∴AF= AO2−OF2=72，
∴AD=AF+DF=72+52=6.
故答案为：6.
作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC.利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=OF，在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE=DF，进而求解．
本题考查了考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，求出一元二次方程的解是解此题的关键．
先求出方程的解，再求出三角形的面积即可．
【解答】解：解方程x2−4x−12=0得：x=6或−2，
∵一元二次方程x2−4x−12=0的两根分别是一次函数y=kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是12×6×|−2|=6，
故答案为：6.
19.【答案】16
【解析】解：画树状图为：
{3x−22b②，
解①得：x0，
解②得：x>ba，
根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，
则2