浙江省台州市新河中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学试题

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一、单选题
1．已知递增的等差数列的前项和为，则（ ）
A．70B．80C．90D．100
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解.
【详解】设等差数列的公差为d，
则由题得，解得，
所以.
故选：D.
2．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率．
【详解】椭圆，左焦点F−c,0，下顶点，
设，，的中点为，，．
，．
由，，两式相减得，
可化为，得，即，两边平方得，
化为：，解得，又，解得．
故选：A．
3．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.
【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
4．已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（ ）
A．120B．180C．210D．420
【答案】C
【分析】根据累加法可得，进而可得，即可根据等差求和公式求解.
【详解】，
由于，与的夹角为，故，
因此，
故，
故选：C．
5．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系.
【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：

设，则，所以
，
设平面的法向量为，则，即
，令，得，所以法向量为，
设，因为，
因为平面，则，所以，解得，
则.
故选：B
二、多选题
6．已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆恒相交
C．直线，的交点在定圆上
D．若为中点，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D.
【详解】对于选项A，因为直线，即，
令，解得，则直线恒过定点，故A正确；
对于选项B，因为直线，即，
令，解得，所以直线恒过定点，
将点代入圆可得，
即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误；
对于选项C，联立两直线方程可得，解得，
消去可得，即，故C正确；
对于选项D，设，因为，且为中点，所以，
而圆的圆心，半径为，
则圆心到弦的距离为，即，
即点的轨迹方程为，圆心，半径为，
由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为，
两圆圆心距为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
7．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则，；
B．若，则使的最大的n为15；
C．若，，则中最大；
D．若，则.
【答案】ABD
【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，
所以，即，
根据等差数列的性质可得，又，
所以，，故A正确；
对于B：因为，则，
所以，又，
所以，
所以，，
所以使的最大的n为15，故B正确；
对于C：因为，则，
，则，即，
所以则中最大，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以，即，故D正确，
故选：ABD
【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
8．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为
B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切
C．若直线过焦点，当时，则
D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关
【答案】BCD
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，准线为，
设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错；
对于B选项，若直线过焦点，则，
线段的中点到直线的距离为，所以，，
因此，以为直径的圆与相切，B对；
对于C选项，当时，直线的方程为，
联立可得，不妨取、，则，
此时，，C对；
对于D选项，线段的中点坐标为，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，
由题意可得，
由作差得，
所以，，D对.
故选：BCD.
9．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）

A．平面截正方体所得截面为六边形
B．点G到平面的距离为定值
C．若，且，则G为棱的中点
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解.
【详解】对于A，连接，
在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，，
所以，则平面与平面为同一平面，
所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误；
对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确；
对于C，连接，
因为，且，所以四点共面，
因为在正方体中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方体中，，
所以四边形是平行四边形，则，则，
因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确；
对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

设，则，
所以，
设平面的法向量为n=a,b,c，则，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．等差数列的前项之和为，若，，则 ．
【答案】90
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.
【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，
而，即，于是得，
所以.
故答案为：90
11．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
12．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．
【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离,
故答案为：
13．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解．
【详解】设为右焦点，半焦距为，，，
为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，
由，，
则，，，所以，从而有，
故，
当且仅当，即时取等，所以的最小值为.
故答案为：．
【点睛】思路点睛：
关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．
四、解答题
14．等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.
【详解】（1）设数列的公差为，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴，
∴ ；
（2）由已知，
时，；
时，；
综上.
15．如图，在三棱锥中，若，，,点为棱上一点，且，点为线段的中点
(1)求PM的长度；
(2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值．
【详解】（1）∵为线段的中点，∴，
∵，∴，
∴
；
（2）
．
∴异面直线PM与AC所成角的余弦值为
16．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
(3)设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，．
【分析】（1）根据圆心到直线的距离公式得到，可得，进而结合离心率求解即可；
（2）根据题意得到，可得点的轨迹为抛物线，进而求解；
（3）设，，，且，，由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，再根据二次函数性质求解即可.
【详解】（1）由题意，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切，
则，即，又，，
解得，，所以椭圆的方程是．
（2）由条件可知，
即动点到定点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线，且，
则点的轨迹的方程是．
（3）由（2）知，若存在点，
设圆与抛物线的一个公共点与，则有．
设，，，且，，
则，，
所以，
整理化简得，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
则，
故的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题第（3）题关键在于根据题意由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，进而结合二次函数的性质求解即可.