2023-2024学年浙江省台州市温岭市新河中学高一（下）段考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市温岭市新河中学高一（下）段考数学试卷（6月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i1+i−i2024(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. −12B. 12C. −12iD. 12i
2.如图，△ABC的斜二测直观图为等腰直角三角形A′B′C′，其中A′B′=2 3，则△ABC的面积为( )
A. 6 2
B. 6 3
C. 6
D. 12 2
3.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程(单位：千米)，其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是( )
A. 12B. 16C. 17D. 18.5
4.已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，则“asinC+acsC=b+c”是“△ABC为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.设A，B是一个随机试验中的两个事件且P(A)=12,P(B−)=1324,P(A−B+AB−)=724，则P(A−B)=( )
A. 18B. 1148C. 211D. 713
6.如图，平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=2，∠A=45°.现将△BCD沿BD起，使二面角C−BD−A大小为120°，则折起后得到的三棱锥C−ABD外接球的表面积为( )
A. 10πB. 15πC. 20πD. 20 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法不正确的是( )
A. 若m/​/n，m/​/α，则n/​/αB. 若m/​/α，m//β，则α/​/β
C. 若a⊥α，b⊥β，a/​/b，则α/​/βD. 若α⊥β，α⊥γ，则β/​/γ
8.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则( )
A. 存在点P使得AP⊥A1C
B. 若点P满足AP⊥BF，则动点P的轨迹长度为2 5
C. 若点P满足PF/​/平面A1C1D时，动点P的轨迹是正六边形
D. 当点P在侧面B1BCC1上运动，且满足FP= 2时，二面角A−CD−P的最大值为60°
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcsC+3ccsB=a2，则下列说法正确的是( )
A. 若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B. 若A=π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3,3 2]
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3 2,3 3)
D. 若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3 3−34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
10.已知向量a,b满足a⋅b=15=3|b|，则向量a在b上的投影向量为______．
11.若|z+ 3+i|=1，则|z|的最大值为______．
12.在△ABC中，S△ABC= 32AB⋅AC= 3，sinB=2csA⋅sinC，△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则PA⋅PB的取值范围是______．
四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.85．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
(2)从A组小鼠和B组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
14.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB= 3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．
(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，若存在求出点G的位置，不存在请说明理由．
15.(本小题13分)
如图，在平面四边形ABCD中，DC=2AD=4 2，∠BAD=π2，∠BDC=π6．
(1)若cs∠ABD= 53，求△ABD的面积；
(2)若∠C=∠ADC，求BC．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.A
6.C
7.ABD
8.AC
9.ACD
10.35b
11.3
12.[−23,2]
13.解：(1)由频率分布直方图可得：0.05+b=1−0.85且0.15+a+0.2+0.15=0.85，
解得a=0.35，b=0.1，
甲离子残留百分比的中位数为3.5+(4.5−3.5)×．
(2)A组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.15，
B组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为0.15×0.7=0.105．
14.解：(Ⅰ)证明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，
可得AB= 2，
又PA=1，PB= 3，即有PA2+AB2=PB2，
可得PA⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
可得PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则P(1,0,1)，D(0,0,0)，E为PD的中点，可得E(12,0,12)，
由C(0,1,0)，P(1,0,1)，点F在PC上，且PFFC=12，可得F(23,13,23)，
又A(1,0,0)，则AE=(−12,0,12)，AF=(−13,13,23)，
设平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，由n⋅AE=0n⋅AF=0可得−12x1+12z1=0−13x1+13y1+23z1=0，
令x1=1，则z1=1，y1=−1，即n=(1,−1,1)．
在棱BP上假设存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，
设PGGB=λ(0<λ<1)，由B(2,1,0)，可得G(1+2λ1+λ,λ1+λ,11+λ)，
AG=(λ1+λ,λ1+λ,11+λ)，
则G到平面AEF的距离为|AG⋅n||n|=11+λ 3= 39，
解得λ=2，即有G为靠近B的三等分点．
15.解：(1)因为cs∠ABD= 53>0，所以sin∠ABD= 1−cs2∠ABD=23，
所以tan∠ABD=sin∠ABDcs∠ABD=2 5，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADAB=2 2AB=2 5，
所以AB= 10，
所以△ABD的面积S=12AB⋅AD=12× 10×2 2=2 5．
(2)设∠CBD=α，则∠ADC=∠C=5π6−α，
因为∠BDC=π6，所以∠ADB=∠ADC−∠BDC=2π3−α，
在Rt△ABD中，cs∠ADB=ADBD，所以BD=ADcs∠ADB=2 2cs(2π3−α)，
在△BCD中，由正弦定理知，BDsin∠C=CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，
所以2 2cs(2π3−α)sin(5π6−α)=4 2sinα=BCsinπ6(∗)，
所以1(−12csα+ 32sinα)(12csα+ 32sinα)=2sinα，
即sinα=2×(34sin2α−14cs2α)=32sin2α−12(1−sin2α)=2sin2α−12，
整理得4sin2α−2sinα−1=0，解得sinα=1± 54(舍负)，
代入(∗)式得，BC=2 2sinα=2 21+ 54=2( 10− 2).