二项分布、超几何分布与正态分布小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

这是一份二项分布、超几何分布与正态分布小题限时训练--2025届高三数学二轮复习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·三明调研]已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X＞0)＝0.8，则P(X＜2)＝( )
A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.8
2.[2024·北京怀柔区调研]将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为X，则随机变量X的期望E(X)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.[2024·阜阳调研]从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，则按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为( )
A.eq \f(5,2) B.3 C.eq \f(10,3) D.eq \f(7,2)
4.[2024·清远调研]数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为eq \f(2,3)，向左移动的概率为eq \f(1,3)，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是( )
A.(eq \f(2,3))4(eq \f(1,3))2 B.(eq \f(2,3))2(eq \f(1,3))4C.Ceq \\al(2,6)(eq \f(2,3))4(eq \f(1,3))2 D.Ceq \\al(4,6)(eq \f(2,3))2(eq \f(1,3))4
5.[2024·济宁调研]某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X＞0)＝eq \f(11,21)，则该社团的人数为( )
A.5 B.6 C.7 D.10
6.[2024·厦门调研]甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制(先胜三局者获胜，比赛结束)，如果每局比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，乙获胜的概率为1－p，则甲选手以3∶1获胜的概率为( )
A.Ceq \\al(2,3)p3(1－p) B.Ceq \\al(2,3)p2(1－p) C.Ceq \\al(3,4)p3(1－p) D.p3(1－p)
7.[2023·上海嘉定质检]已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：
甲：P(X＞m＋1)＞P(X＜m－2)；乙：P(X≤m)＝0.5；丙：P(X≥m)＝0.5；丁：P(m－1＜X＜m)＜P(m＋1＜X＜m＋2)，如果有且只有一个是假命题，那么该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.[2024·武汉调研]设随机变量X～B(n，p)，记pk＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，下列说法正确的是( )
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大.二项分布当p＝0.5时是对称的，当p＜0.5时向右偏倚，当p＞0.5时向左偏倚
B.如果(n＋1)p为正整数，则当且仅当k＝(n＋1)p时，pk取最大值
C.如果(n＋1)p为非整数，则当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值
D.E(X)＝np(1－p)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·白山质检]装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1～N(4.7，0.01)，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2～N(4.6，0.04)，则下列选项正确的是( )
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在(4.5，4.8)的概率约为0.7685
B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为4.7±0.1，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍
10.[2024·聊城调研]一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测.记随机变量X为检测到的正品的件数，则( )
A.X服从二项分布 B.P(X≥1)＝eq \f(9,10)
C.E(X)＝eq \f(6,5) D.最有可能取得的X为1
11.[2023·武汉质检]已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0＜p＜1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有( )
A.a＋b＝1 B.p＝eq \f(1,2)时，a＝b
C.0＜p＜eq \f(1,2)时，a随着n的增大而增大 D.eq \f(1,2)＜p＜1时，a随着n的增大而减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2023·南京师大附中模拟]某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80，52)，则理论上在85分到90分的人数约是________.(按四舍五入法保留整数)
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
13.[2024·遂宁诊断]为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有__________个小组能评为“阳光小组”.(结果四舍五入法保留整数)
14.[2024·石家庄模拟]为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为______.
二项分布、超几何分布与正态分布
1.D [因为X～N(1，σ2)，P(X＞0)＝0.8，
所以P(X＜2)＝P(X＞0)＝0.8，故选D.]
2.B [在一次抛硬币的试验中，正面朝上的概率为eq \f(1,2)，由题意可知X服从二项分布，
所以X～B(4，eq \f(1,2))，
所以E(X)＝4×eq \f(1,2)＝2，故选B.]
3.A [设得分为X，根据题意X可以取4，3，2.
则P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(1,28)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(12,28)＝eq \f(3,7)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(15,28)，
则X的分布列为：
所以得分期望为E(X)＝4×eq \f(1,28)＋3×eq \f(3,7)＋2×eq \f(15,28)＝eq \f(5,2).故选A.]
4.C [此实验满足六重伯努利试验，设向左移动次数为X，
则X～B(6，eq \f(1,3))，根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次，
则P(X＝2)＝Ceq \\al(2,6)(eq \f(2,3))4(eq \f(1,3))2，故选C.]
5.C [设该社团共有人数为n，
∴P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,n－2),Ceq \\al(2,n))＝eq \f(（n－2）（n－3）,n（n－1）).
∵P(X＝0)＝1－P(X＞0)＝eq \f(10,21)，
∴eq \f(（n－2）（n－3）,n（n－1）)＝eq \f(10,21)，
即(11n－18)(n－7)＝0，
又因为n∈N*，解得n＝7.故选C.]
6.A [甲选手以3∶1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢，故所求概率为Ceq \\al(2,3)p2(1－p)p＝Ceq \\al(2,3)p3(1－p).故选A.]
7.D [因为P(X≤m)＝0.5，P(X≥m)＝0.5等价于μ＝m，
由题意可得：乙、丙均为真命题，且μ＝m.
对于甲：因为P(X＞m＋1)＝P(X＜m－1)＞P(X＜m－2)，故甲为真命题；
对于丁：因为P(m－1＜X＜m)＝P(m＜X＜m＋1)＞P(m＋1＜X＜m＋2)，故丁为假命题；故选D.]
8.C [因为X～B(n，p)，pk
＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(pk≥pk－1，,pk≥pk＋1，))得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(k,n)pk（1－p）n－k≥Ceq \\al(k－1,n)pk－1（1－p）n－k＋1，,Ceq \\al(k,n)pk（1－p）n－k≥Ceq \\al(k＋1,n)pk＋1（1－p）n－k－1，))
解得(n＋1)p－1≤k≤(n＋1)p，
若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，pk取最大值，故B错误；
若(n＋1)p为非整数，则k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大.
根据二项分布的图象性质可得，
当p＝0.5时是对称的，当p＜0.5时向左偏倚，当p＞0.5时向右偏倚，故A错误；
而E(X)＝np，故D错误.故选C.]
9.BD [因为X1～N(4.7，0.01)，
所以μ1＝4.7，σ1＝0.1.
因为X2～N(4.6，0.04)，所以μ2＝4.6，σ2＝0.2.
因为P(4.5＜X1＜4.8)＝P(μ1－2σ1＜X1＜μ1＋σ1)≈0.818 6，故A错误；
因为σ1＝0.1＜σ2＝0.2，
所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确；
因为P(X1≤5)＝P(X1≤μ1＋3σ1)，
P(X2≤5)＝P(X2≤μ2＋2σ2)，所以P(X1≤5)＞P(X2≤5)，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误；
因为P(4.6＜X1＜4.8)＝P(μ1－σ1＜X1＜μ1＋σ1)≈0.682 7，
P(4.6＜X2＜4.8)＝P(μ1＜X1＜μ1＋σ1)≈
0.341 35，所以D正确.故选BD.]
10.BCD [由题意可知X的分布列为：
对于A, X服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误；
对于B，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝eq \f(9,10)，故B正确；
对于C，E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(6,10)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5)，C正确；
对于D，由于X为1时的概率最大，所以最有可能，D正确，
故选BCD.]
11.ABC [对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；
对于B选项，由p＝eq \f(1,2)时，离散型随机变量X服从二项分布B(n，eq \f(1,2))，
则P＝(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)(eq \f(1,2))k(1－eq \f(1,2))n－k(k＝0，1，2，3，…，n)，
所以a＝(eq \f(1,2))n(Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…)
＝(eq \f(1,2))n×2n－1＝eq \f(1,2)，
b＝(eq \f(1,2))n(Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…)
＝(eq \f(1,2))n×2n－1＝eq \f(1,2)，
所以a＝b，故B正确；
对于C，D选项，
a＝eq \f([（1－p）＋p]n－[（1－p）－p]n,2)
＝eq \f(1－（1－2p）n,2)，
当0＜p＜eq \f(1,2)时，0＜1－2p＜1，
a＝eq \f(1－（1－2p）n,2)为正数，且随着n的增大而增大，故选项C正确；
当eq \f(1,2)＜p＜1时，－1＜1－2p＜0，(1－2p)n正负交替，故选项D不正确.故选ABC.]
12.6 [由题意知μ＝80，σ＝5，
所以P(85≤X≤90)
＝eq \f(P（70≤X≤90）－P（75≤X≤85）,2)
≈eq \f(0.954 5－0.682 7,2)＝0.135 9，
所以理论上在85分到90分的人数约是45×0.135 9≈6.]
13.410 [由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为Ceq \\al(4,4)×0.84＋Ceq \\al(3,4)×(1－0.8)×0.83＝
0.819 2，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为
0.819 2，
且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布X～B(500，0.819 2)，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有
500×0.819 2＝409.6≈410个.]
14.eq \f(4,7) [设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为：0，1，2，
可得：P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,7))＝eq \f(1,7)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(2,7))＝eq \f(4,7)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(2,7))＝eq \f(2,7)，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为
P＝P(X＝0)×eq \f(4,5)＋P(X＝1)×eq \f(3,5)＋
P(X＝2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,7)×eq \f(4,5)＋eq \f(4,7)×eq \f(3,5)＋eq \f(2,7)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,7).]
X
4
3
2
P
eq \f(1,28)
eq \f(3,7)
eq \f(15,28)
X
0
1
2
P
eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)
eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(6,10)
eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(3,10)