2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x−2≥0}，B={x∈N|x≤3}，则A∩B=( )
A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {x|2≤x≤3}
2.命题“∃x>0，x+|x|≥0”的否定为( )
A. ∀x<0，x+|x|≥0B. ∀x>0，x+|x|<0
C. ∃x>0，x+|x|<0D. ∃x<0，x+|x|<0
3.“−1A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)= x−2|x|−5的定义域为( )
A. (2,5)B. [2,5)C. (2,5)∪(5,+∞)D. [2,5)∪(5,+∞)
5.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, 22)，则f(9)=( )
A. 13B. 3C. 3D. 33
6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站( )千米处，才能使两项费用之和最小．
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知函数f(x)是R上的增函数A(0,−2)，B(3,2)是其图象上的两点，那么|f(x+1)|<2的解集的补集是( )
A. (−1,2)B. (1,4)
C. (−∞,1]∪[4,+∞)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)
8.已知函数f(x)=x2+4x,x<0,x2−4x,x≥0,当−5≤x≤2时，函数f(f(x)+a)的值域为[−4,32]，则实数a的取值集合为( )
A. {−4,−3}B. {−4,3}C. {2,−3,−4}D. {2,3}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的为( )
A. 若a>b>0>c>d，则ab>cdB. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若a>b>0且c<0，则ca2>cb2D. 若a>b且1a>1b，则ab<0
10.已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2+ax+1，M(x)=max{f(x),g(x)}，已知M(x)的最小值为1，则实数a的取值可能为( )
A. a=−2B. a=−1C. a=0D. a=1
11.若a，b>0，且ab=2a+b+3，则下列说法正确的是( )
A. ab的最小值为7+2 10B. a2+b2的最小值为14+4 10
C. 3a+b的最小值为5+2 15D. 1a−b的最大值为4−2 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若B⊆A，则实数a的值为______．
13.已知函数f(x)满足条件：①当x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②当x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.请写出满足条件的一个f(x)= ______．
14.已知函数f(x)=1x+ax1−x．
当a=−1时，f(x)在区间[2,5]上的最小值为______；
当a>0时，f(x)在区间(0,1)上的最小值为2，则实数a的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知集合A={x|y= −x2+10x−21}，B={x|x+ax+5a<0}．
(1)当a=−2时，求(∁RA)∩B；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知定义域为R的函数f(x)满足：①对任意x∈R，f(−x)+f(x)=0；②当x>0时，f(x)=−x2+2x+3．
(1)求f(x)在实数R上的解析式；
(2)在坐标系中画出f(x)的图象；(作图要求：要标出顶点、与坐标轴的交点)
(3)解不等式：f(x)≤2．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2−4x+3．
(1)若f(x)>0的解集为{x|x<1或x>b}，求不等式bx2−4x+a<0的解集；
(2)若函数f(x)的图象恒在y=x2−4ax的上方，求a的取值范围；
(3)若|f(x)|在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
18.(本小题15分)
给定函数f(x)=axbx2+1(a>0,b>0)．
(1)当a=2，b=1时，求证f(x)在区间[−1,1]上单调递增；
(2)已知f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为12，求1b−1a的最小值；
(3)若f(x)≤1在R上恒成立且f(x0)=1，求证：x0=2a．
19.(本小题17分)
有同学发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.运用该结论解决以下问题：
(1)直接写出函数f(x)=xx−1的对称中心；
(2)证明：函数g(x)=x3+3x2的对称中心为(−1,2)；
(3)若函数ℎ(x)=x3−ax2+3−2xx−b的对称中心为(1,−2)，求实数a、b的值．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.B
9.BCD
10.ABC
11.AC
12.2
13.x,x≤0−x2,x>0(答案不唯一)
14.2920 14
15.解：(1)A={x|y= −x2+10x−21}，
令−x2+10x−21≥0，解得3≤x≤7，
故A=[3,7]，所以∁RA=(−∞,3)∪(7,+∞)，
当a=−2时，B={x|x−2x−10<0}={x|2即B=(2,10)，所以(∁RA)∩B=(2,3)∪(7,10)．
(2)A=[3,7]，B={x|x+ax+5a<0}={x|(x+a)(x+5a)<0}，
若a=0，则B=⌀满足题意；
若a<0，则B=(−a,−5a)，
要使A∩B=⌀，则需−5a≤3或−a≥7，解得a≤−7或−35≤a<0；
若a>0，则B=(−5a,−a)，此时满足A∩B=⌀；
综上，实数a的取值范围为{a|a≤−7或a≥−35}.
16.解：(1)因为对任意x∈R，f(−x)+f(x)=0，
所以f(−x)=−f(x)，
即f(x)的R上的奇函数，所以f(0)=0，
当x>0时，f(x)=−x2+2x+3．
当x<0时，−x>0，f(−x)=−x2−2x+3，
因为f(−x)=−f(x)，
所以当x<0时，f(x)=x2+2x−3，
所以f(x)=x2+2x−3,x<00,x=0−x2+2x+3,x>0；
(2)画出f(x)的图象，如图所示：

(3)当x<0时，x2+2x−3≤2，解得−1− 6≤x<0，
当x=0时，f(x)=0≤2满足题意，
当x>0时，−x2+2x+3≤2，解得x≥1+ 2，
综上，x∈[−1− 6,0]∪[1+ 2,+∞)．
17.解：(1)函数f(x)=ax2−4x+3，
f(x)>0的解集为{x|x<1或x>b}，故1和b为函数f(x)=0的两根，
由题意得a>01+b=4a1×b=3a，解得a=1，b=3，则不等式3x2−4x+1<0的解集为(13,1)．
(2)由ax2−4x+3>x2−4ax，即(a−1)x2+4(a−1)x+3>0恒成立，
当a<1时，不合题意，
当a=1时，3>0满足题意，
当a>1时，Δ=16(a−1)2−12(a−1)<0，解得1综上，1≤a<74，
故实数a的取值范围为[1,74).
(3)当a<0时，对称轴为x=2a<0，又f(1)=a−1<0，
此时|f(x)|在(1,+∞)上单调递增，满足题意；
当a=0时，|f(x)|=|4x−3|=4x−3在(1,+∞)上单调递增，满足题意；
当a>0时，对称轴为x=2a>0，此时需2a≤1，即a≥2，
此时Δ=16−12a<0，则|f(x)|在(1,+∞)上单调递增．
综上，a≤0或a≥2，
故a∈(−∞,0]∪[2,+∞)．
18.解：(1)证明：由题设f(x)=2xx2+1，令−1≤x1则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1
=2x1(x22+1)−2x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)
=2x1x2(x2−x1)+2(x1−x2)(x12+1)(x22+1)
=2(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，
而x2−x1>0,x1x2−1<0,(x12+1)(x22+1)>0，
所以2(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x1)故f(x)在区间[−1,1]上单调递增；
(2)由f(x)=axbx2+1=abx+1x≤a2 b=12(a>0,b>0)，
当且仅当bx=1x，即x=1 b时等号成立，
此时有a b=1，即b=a2，
所以1b−1a=1a2−1a=(1a−12)2−14，
所以当a=2时，1b−1a取得最小值为−14；
(3)证明：由axbx2+1≤1，
得bx2−ax+1≥0恒成立，
又因为a>0，b>0，
所以Δ=a2−4b≤0，即b≥a24，
又f(x0)=1，得b=ax0−1x02．
综上，ax0−1x02≥a24，
整理得(ax0−2)2≤0，则ax0−2=0，
所以x0=2a．
19.解：(1)根据题意，f(x)=xx−1=1+1x−1，
则f(x)的对称中心为(1,1)；
(2)证明：根据题意，设G(x)=g(x−1)−2，
由于g(x)=x3+3x2=(x+1)3−3x−1=(x+1)3−3(x+1)+2，
则G(x)=g(x−1)−2=x3−3x，
易得G(x)的定义域为R，且G(−x)=−G(x)，
则G(x)为奇函数，故函数g(x)=x3+3x2的对称中心为(−1,2)；
(3)根据题意，函数ℎ(x)=x3−ax2+3−2xx−b，其定义域为{x|x≠b}，
若函数ℎ(x)=x3−ax2+3−2xx−b的对称中心为(1,−2)，则ℎ(x)的定义域也必须关于x=1对称，必有b=1，
则ℎ(x)=x3−ax2+3−2xx−1，
有ℎ(0)+ℎ(2)=(−3)+(8−4a−1)=−4，
变形可得4−4a=−4，解可得a=2，
故a=2，b=1．