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    江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

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    江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

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    这是一份江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题,共15页。试卷主要包含了过点且与直线平行的直线方程是,已知直线l过双曲线C,已知,则下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
    A.B.
    C.D.
    2.已知圆与抛物线的准线相切,则实数p的值为( )
    A.2B.6C.3或8D.2或6
    3.若方程表示一个圆,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    4.已知圆关于直线对称,过点分别作圆的两条切线,切点分别为,则( )
    A.B.C.D.
    5.已知直线l过双曲线C:(,)的左焦点,与C左支交于A,B两点,双曲线的右焦点为,若,则双曲线C的离心率为( )
    A.2B.C.4D.
    6.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线,与的一个交点位于第四象限,且与的准线交于点,若,则( )
    A.B.2C.D.3
    7.已知线段是圆的一条动弦,且,若点P为直线上的任意一点,则的最小值为( )
    A. B. C. D.
    8.已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为( )
    A. B.
    C. D.
    二、多选题(每小题6分,共18分,部分选对得部分分,全对得满分,有错选得0分)
    9.已知,则下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值()的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,成为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,、,点Р满足,设点Р所构成的曲线为C,下列结论正确的是( )
    A.C的方程为
    B.在C上存在点D,使得
    C.在C上不存在点M,使M在直线上
    D.在C上存在点N,使得
    11.已知为双曲线:上位于第一象限内一点,过点作x轴的垂线,垂足为,点与点关于原点对称,点为双曲线的左焦点,则( )
    A.若,则B.若,则的面积为9
    C.D.的最小值为8
    三、填空题(每小题5分,共15分)
    12.经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是 .
    13.抛物线y2=2pxp>0的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且,的面积为,则抛物线方程为________
    14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如下图所示,该纸杯母线长为,开口直径为.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时,椭圆的离心率等于 .

    四、解答题
    15.(13分).已知圆C:
    (1)若直线l过点,且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程;
    (2)设直线,,问直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
    16.(15分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,底面.

    (1)证明:;
    (2)若,求二面角的余弦值.
    17.(15分)已知双曲线的一条渐近线为,其虚轴长为为双曲线上任意一点.
    (1)求证:到两条渐近线的距离之积为定值,并求出此定值;
    (2)若双曲线的左顶点为,右焦点为,求的最小值.
    18.(17分)已知抛物线的焦点为,为上一点,且.
    (1)求的方程;
    (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点,且点关于轴的对称点为,直线与轴交于点.
    (i)求点的坐标;
    (ii)求与的面积之和的最小值.
    19.(17分)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为,椭圆的“特征三角形”为,若,则称椭圆与“相似”,并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆:与椭圆:相似.
    (1)求椭圆的离心率;
    (2)若椭圆与椭圆的相似比为,设为上异于其左、右顶点,的一点.
    ①当时,过分别作椭圆的两条切线,,切点分别为,,设直线,的斜率为,,证明:为定值;
    ②当时,若直线与交于,两点,直线与交于,两点,求的值.
    参考答案
    1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】D
    【详解】圆可化为.
    可知圆心为,半径,
    因为圆C关于对称,即直线过圆心,
    则,解得,
    可得,且,
    所以.
    5.【答案】A
    【详解】如图,
    设,由双曲线的定义知,,
    两式相加可得,即,解得,
    所以,
    在中,,
    化简可得,即,解得.
    6.【答案】B
    【详解】如图,过点A作准线的垂线,垂足为D,则,
    由,得,则,
    因此,所以.
    7.【答案】A
    【详解】圆的圆心,半径,
    令动弦中点为Q,则,即动弦中点Q的轨迹是以点C为圆心,为半径的圆,
    点到直线的距离,即直线与点Q的轨迹相离,
    ,而,所以的最小值为.
    8.【答案】A
    令的中点为E,设,利用点差法得到,
    设直线,求出M、N的坐标,
    再根据求出k、m,即可得解;
    解:令的中点为E,因为,所以,
    设,则,设直线,
    令得,令得,即,
    所以,即,解得或(舍去),
    又,即,解得或(舍去),
    所以直线,即;
    9.【答案】AC
    【详解】因为,
    对于选项A:若,则,所以,A正确;
    对于选项B:若,
    则,解得,故B错误;
    对于选项C:若,则,解得,故C正确;
    对于选项D:若,则,解得,故D错误.
    10.【答案】ACD
    【详解】设点,由,
    得,化简得,即,故A选项正确;
    对于B选项,设,由得,
    又,联立方程可知无解,故B选项错误;
    对于C选项,设,由M在直线上得,
    又,联立方程可知无解
    对于D选项,设,由,得,又,联立方程可知有解,故D选项正确.
    11.【答案】ABD
    【详解】设双曲线右焦点为,由题意可知,四边形为平行四边形,如图:
    由双曲线可知:,
    对于A,因为,所以,所以四边形为矩形,所以,故A正确;
    对于B,据双曲线定义可知:,
    若,则四边形为矩形,
    则,所以,
    即,所以,所以,
    所以,故B正确;
    对于C,由双曲线的方程可知,
    在中,
    又因为双曲线渐近线方程为:,
    所以所以,即,故C错误;
    对于D,,
    当且仅当时,取到最小值为8,故D正确.
    12.【答案】
    13.【答案】.
    14.【答案】
    【详解】解:如图所示:
    设,因,故,
    ,即,
    设椭圆中心为O,作圆锥的轴截面,与底面直径交于E,与椭圆交于P,Q,
    连交于G,以点O为原点,为x轴,建立直角坐标系,
    过E点作,则,
    ,则,
    ,则,又由得:,,从而,则得,
    不妨设椭圆方程为,把和点P坐标代入方程,
    解得,则,故
    15.【详解】(1)若直线l的斜率存在,设为k,则过点的直线可以设为:,
    圆方程可以化为:,
    所以圆心为,半径为2,
    由于弦长为,所以由垂径定理得,圆心C到直线l的距离,
    结合点到直线距离公式,得:解得:,
    所以,直线l的方程为:化简得:,
    若直线l的斜率不存在,则过点的直线可以设为:,
    此时圆心到它的距离等于1,符合题意,
    所以所求直线方程为:和 7分
    (2)若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,则直线l所对的圆心角为,由圆的性质可知,弦心距,
    所以,
    即,所以,而此方程无解,
    所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧. 13分
    16.【详解】(1)因为,
    由余弦定理得,从而.因此.
    又底面底面,所以,而,所以平面.又平面,故 7分
    (2)如图,以D为坐标原点,直线分别为x轴、y轴、z轴,
    建立空间直角坐标系.不妨设,则,.

    设为平面的法向量,
    则,即,
    得到.
    同理可得平面的法向量.
    于是.
    由图形可知,二面角为钝角,
    故二面角的余弦值为. 15分
    17.【详解】(1)由题意可得,解得,
    因此,双曲线C的方程为
    设,则,渐近线为,
    P到两条渐近线的距离之积 7分
    (2)
    由已知,得,设或,
    P在双曲线上,所以
    因此
    或,
    对称轴为,由于或,所以当时,取得最小值为. 15分
    18.(17分)已知抛物线的焦点为为C上一点,且.
    (1)求C的方程;
    (2)过点且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A,B,且点B关于x轴的对称点为D,直线与x轴交于点Q.
    (i)求点Q的坐标;
    (ii)求与的面积之和的最小值.
    【详解】(1)由题意可得,解得,所以C的方程为: 3分
    (2)(i)由已知可得直线l的斜率不为0,且过点,
    故可设的直线l的方程为,代入抛物线的方程,
    可得,方程的判别式,

    不妨设,则,
    所以直线的方程为:,即
    即,令,可得,
    所以,所以所以; 10分
    (ii)如图所示,可得,

    所以与的面积之和
    当且仅当时,即时,等号成立,
    所以与的面积之和的最小值为 17分
    19.【详解】(1)对于椭圆,则长轴长为,短轴长为2,焦距为2,
    椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,
    依题意可得,所以,
    则椭圆的离心率 3分
    (2)①由相似比可知,,解得,所以椭圆,
    设,则直线的方程为,即,
    记,则的方程为,
    将其代入椭圆的方程,消去y,得,
    因为直线与椭圆C有且只有一个公共点,
    所以,即,
    将代入上式,整理得,
    同理可得,
    所以为关于k的方程的两根,
    所以.又点在椭圆上,
    所以,所以,为定值. 10分
    ②由相似比可知,,解得,所以椭圆,
    其左、右顶点分别为,恰好为椭圆的左、右焦点,
    设,易知直线的斜率均存在且不为0,
    所以,
    因为在椭圆上,所以,即,
    所以.
    设直线的斜率为k,则直线的斜率为,
    所以直线的方程为.
    由,得,
    设,则,
    所以

    同理可得,
    所以. 17分

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