2022-2023学年江西省南昌市第二中学高二上学期第二次月考数学试题

这是一份2022-2023学年江西省南昌市第二中学高二上学期第二次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二月考数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（ ）
A． B．4 C．1 D．
2．如图所示，在平行六面体中，E为AC与BD的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B．
C． D．
3．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
4．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
5．已知椭圆的左右焦点分别，，焦距为4，若以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：，过点的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美第2题图2的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）

A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知直线l：，其中，则（ ）
A．直线l过定点
B．当时，直线l与直线垂直
C．若直线l与直线平行，则
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数
10．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）
A．双曲线与椭圆有相同的焦点
B．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条
C．设A，B是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支
D．动圆P过定点且与定直线l：相切，则圆心P的轨迹方程是
11．已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的值可能为（ ）
A． B．3 C．4 D．
12．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，，上的动点（不含端点），则（ ）

A．异面直线与AF成角可以为
B．当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
C．当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．两平行直线和间的距离是．
14．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的一条渐近线与圆相切，则．
15．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是，，，，焦点分别为，，延长与交于P点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为．

16．已知曲线C的方程是，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是命题（填“真”或“假”），若点在曲线C上，则的最大值为．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知以点为圆心的圆与，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
（Ⅰ）求圆A的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程．
18．如图，已知直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，，E是的中点，F是BC的中点．

（Ⅰ）求异面直线和所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为和，点M为BC边的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设点M的轨迹为曲线，直线与曲线的另一个交点为N，线段的中点为E，记，求S的最大值．
20．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到的位置，如图（2）所示．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面；
（Ⅱ）若平面平面BCDE，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．“人工智能＋科技创新”正在掀起校园新浪潮，为加强人工智能教育，全面提升学生的科学素养．某高中科创社团学生，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，而机器鼠的位置始终满足：A，B两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻，测得机器鼠与点O的距离为4米．

（Ⅰ）以O为原点，直线AB为x轴建立如图直角坐标系，求时刻机器鼠所在的坐标．
（Ⅱ）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域内运动，就有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？
22．设点为抛物线C：的动点，F是抛物线的焦点，当时，．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当P在第一象限且时，过P作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点A，B，且，证明：直线AB恒过定点，并求该定点的坐标；
（Ⅲ）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点P作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】C
4．D

【详解】对于A项，，，所以，则与不是共线向量，所以A项错误；对于B项，因为，所以的单位向量为，所以B项错误；对于C项，向量，，所以，所以C项错误；对于D项，设平面ABC的法向量是，因为，，所以，则，令，则平面ABC的一个法向量为，所以D项正确．故选：D．
5．A
【详解】∵以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴，又即，∴，∴椭圆方程为．故选：A。
6．B
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线AB的方程为，即．故选：B．
7．C
【详解】由，得，因为，所以，．又，即，所以．设，则，又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而．在中，由，得，所以．故答案为：
8．B
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记BM⊥OC且垂足为MA在y轴上的投影点为D，设抛物线方程为，由题意可知：，，，所以，所以，代入抛物线方程可知，所以，所以抛物线方程为，又因为，所以，所以，所以，所以OA的高度为，故选：B．

9．ABD
【详解】
对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确．
10．AD
【详解】
椭圆的焦点为，双曲线的焦点为，故A正确；
对于B，双曲线的实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线只有1条，双曲线的通径长为，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线有2条，因此过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，B错误
对于C，当时，动点P的轨迹是一条射线，当时，动点P的轨迹是双曲线的一支，C错误；
对于D，因为动圆P过定点且与定直线l：相切，即P点到的距离与到直线l：的距离相等，根据抛物线的定义可得，P点为以为焦点、为准线的抛物线，所以动点P的轨迹为，故D正确；
11．CD
【解析】设，．可化为，所以圆的半径，圆心．由，知焦点，当过点F的直线的斜率不存在时，PQ的直线方程为，与抛物线方程联立得，所以，，与圆的方程联立得，所以，，所以，此时．当过点F的直线的斜率存在时，可设该直线方程为，代入抛物线方程并消去y，得，所以．由抛物线的定义可知，，，因为，所以，，所以，故，当且仅当即，时等号成立，结合选项CD正确．
12．BCD
【详解】
对A：因为，故与AF的夹角即为与AF的夹角，又当F与C重合时，取得最大值，为；
当F与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；
又点F不能与C，重合，故，，故A错误；

对B：当G为中点时，存在E，F分别为BC，的中点，满足面AEF，证明如下：
取的中点为M，连接，MG，如下所示：

显然，又面AEF，面AEF，故面AEF；
又易得MG∥EF，面AEF，面AEF，故MG∥面AEF；
又，，面，故面面AEF，
又面，故面AEF，故B正确；
对C：连接，，AE，如下所示：

因为，故面即为平面AEF截正方体所得截面；又，故该截面为等腰梯形，又，，
故截面面积，故C正确；
对D：连接GC，取其中点为H，如下所示：
要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，
显然存在这样的点G满足要求，故D正确．故选：BCD．
13．
14．
15．
16．真
15．
【详解】由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，
所以，即，
又，
所以，两边同时除以，得，即，
解得或，
又，所以．
16．【详解】在曲线C上任取一点，则该点关于原点的对称点为，
因为，即点在曲线C上，
点P关于x轴的对称点为，则，即点在曲线C上，
因此，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是真命题，同理可知，曲线C关于y轴对称，
当且时，曲线C的方程为，
由题意可知，曲线可将椭圆按照平移得到，
作出曲线C的图形如下图所示：

设，当取最大值时，则直线在y轴上的截距最大，此时点M在第一象限，
设点，由，可得，不妨取，
则，
因为，则，
故当时，取最大值．
17．【答案】（1）；（2），或．
【详解】
（1）选①：
因为圆A与直线相切，所以圆A的半径为，因此圆A的方程为；
选②：
因为圆A与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，所以圆A的方程为；
选③：
设圆的圆心为，两圆的一条公切线为m，两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：

设圆A的半径r，因此有：，所以圆A的方程为；
（2）三种选择圆A的方程都是，
当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，显然，符合题意，
当过点的动直线l存在斜率时，设为k，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，因为，所以有，即方程为：
综上所述：直线l的方程为，或．
18．【答案】（1）（2）
【解析】
（1）连结AC，BD，使．
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
以O为原点，、的方向为x轴､y轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．

设，由，底面ABCD是菱形，所以．
所以
∴，，，，
∵F是BC的中点，E是的中点
∴，，
∴，
设异面直线和所成角为，则
．
∴异面直线和AF所成角的余弦值为．
（2）由（1）可得，
设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知，设直线与平面所成角为，
则．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）（2）
【详解】
（1）依题意有：，且，
∴，
故点M的轨迹C是以和为焦点，长轴长为4的椭圆，
考虑到三个中点不可共线，故点M不落在x上，综上，所求轨迹方程：．
（2）设，，显然直线不与x轴重合，不妨设直线的方程为：，
与椭圆方程联立整理得：，
，，，
，，
∴，
令，则，
∵，
∴，当，即时，
∴，
∴当直线轴时，
∴．
20．【答案】（1）证明见详解（2）
【详解】
（1）在图（1）中，因为，，E是AD的中点，，
所以BE⊥AC则在图（2）中，，，，
平面，平面，从而BE⊥平面，
又CD∥BE，所以CD⊥平面．
（2）由已知，平面平面BCDE，平面平面，
又由（1）知，，，
所以为二面角-BE-C的平面角，所以．
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，

因为，BC∥ED，则，，
所以，，，，
得，，．
设平面的法向量，平面的法向量，锐二面角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，所以，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．【答案】（1）（2）没有“被抓”的风险
（1）由题意得：，，
∵机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，
∴机器鼠距离A点的距离比距离B点的距离多米，设机器鼠位置为P，则，
∴P点轨迹是以A，B为焦点，实轴长为8的双曲线的右半支，
∴P点轨迹方程为：；
∵在时刻，测得机器鼠与点O的距离为4米，即，
∴，即时刻机器鼠所在的坐标为．
（2）由题意得：直线l：；与直线l平行且距离不超过1.5米的直线方程为：，
由得：，则，
∵，
∴，
∴与无交点，即没有“被抓”的风险．
22．【答案】（1）；（2）定点为，详见解析；（3），证明见解析．
（1）∵当时，，
∴，所以，即抛物线C的方程为；
（2）∵P在第一象限且时，
∴，设AB：，，，
由，可得，则，
∵，同理，又
∴，即，
∴，即，
所以AB：，即，
所以直线AB恒过定点；
（3）取，设的切线为，则，即，
把代入，解得，，
直线CD：，若直线与圆M：相切，则，又，解得或（舍去），下面证明过曲线C上任意一点P（除原点）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切，设，（），切线为，，，由，可得，
∴，，由，可得，所以，，
∴，即，
同理可得，故，，
所以直线CD：，
所以圆心到直线CD的距离为
，
又，
∴，
综上，可得过曲线C上任意一点P，存在实数，使直线CD与圆M相切．