江西省南昌市第二中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试题（解析版）

这是一份江西省南昌市第二中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次不等式求出集合，再由绝对值不等式求出集合，最后求交集即可；
【详解】由可得，所以，
由可得或，且，
所以，
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，
因此.
故选：C.
3. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件计算，利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由，得，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故选：A.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件．
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】由得，
由不能得到，如；
反之，一定有；
“”是“”必要而不充分条件.
故选： B.
5. ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ）
①若，α//β，则与所成的角等于与所成的角；
②若，，，则与是异面直线；
③若，，α//β，则；
④若，，，则．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.
【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意，既不平行也不相交，故，异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面，为平面，取为，为，显然异面，所以③错误；
若为平面，为平面，则为，取为，则，所以④错误.
故选：B.
6. 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ）
A. B. 2π3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和与差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简计算得函数，利用整体法，代入对称轴计算得的值，然后利用整体法分析函数的值域，列关于的不等式计算即可得答案.
【详解】
，因为函数的一条对称轴为，
所以，即，
又因为，所以，所以，
当时，，
因为函数在区间上值域为，
所以，解得，
所以实数的最大值为.
故选：D
7. 在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值.
【详解】由题意可知，，
，
，
，，
，.
故选：B.
8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果.
二、多选题
9. 设数列{an}，{bn}的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列{an}为等差数列
B. 若，则数列{bn}为等比数列
C. 若数列{an}是等差数列，则，，成等差数列
D. 若数列{bn}是等比数列，则，，成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断
【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列{an}为等差数列，所以A正确；
对于B，当时，满足，但数列{bn}不是等比数列，所以B错误；
对于C，数列{an}是等差数列，数列{an}的前项和为，
则，
，
所以，所以，，成等差数列，所以C正确；
对于D，当等比数列{bn}的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误，
故选：AC
10. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.
【详解】由题意可得，，，，
，，，设，
，，
直三棱柱中，，
可得为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
对于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是上的中点，则，
所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，设，
则，

当时，即时，取最大值，
即直线与直线所成角最小，此时，
，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若4为函数的极小值点，则
C. 若在内有最小值，则b的取值范围是
D. 若有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】先求得，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，，
，，则或，而，则，
令，得或；令，得；
在单调递增，单调递减，单调递增，
的极大值点为，，A对.
对于B，若4为极小值点，则，则，B错.
对于C在内有最小值，则在处取得最小值，
，，
即，
，，故C错误.
对于D有三个互不相等的实数解，，
则，故，故D正确；
故选：AD
【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.
条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.
三、填空题
12. 已知数列满足，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先运算得出数列周期，再根据数列的周期性为3，得出即可求值.
【详解】因为，，
所以，
所以，数列的周期为3，所以.
故答案为：.
13. 已知复数满足，则复数的辐角的主值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数三角形式的运算即可求解.
【详解】由，
可得：
即，
，
，
，
复数的辐角的主值是.
故答案为：
14. 已知函数，若恒成立，则最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简，再根据得到，构造函数， 再求导函数得出单调性进而得出最大值.
【详解】因为函数，
若，当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以，所以；
设，，
当时，，是增函数
当时，，是减函数
则
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由，分类和两种情况讨论得出，再构造函数应用导函数即可求解.
四、解答题
15. 已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和为.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，两式相减，然后利用等比数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解
【小问1详解】
解：由，
得，
两式相减得，即，
因为，，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，以为公差的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
则，
两式相减得，
，
，
，
所以.
16. 在中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得；
（2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解.
【小问1详解】
，，
，
，
，，，
又，.
【小问2详解】
因为BD为的平分线，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去负值），，
所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.
又因为BD为的平分线，所以，
又，，
所以，，
所以的周长为.
17. 椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分析可得，可得出，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）对直线是否与轴重合进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为，
两条对角线长分别为、，则，所以，，
所以，椭圆的方程可表示为，、
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，则，，
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：当直线与轴重合时，则、为椭圆长轴的顶点，不妨设、，
则，，此时；
易知点，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，，
.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18. 已知函数 （）.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性关系可转化条件为在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；
（2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解.
【详解】（1）的定义域为(0,+∞)，
∵在(0,+∞)上单调递增，
∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
∴；
（2）由题意，
∵有两个极值点，
∴为方程两个不相等的实数根，
由韦达定理得，，
∵，∴，
又，解得，
∴
，
设（），
则，
∴在上为减函数，
又，，
∴，
即的取值范围为.
【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.
19. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.
（1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
（2）若，求的二阶和数列的前n项和；
（3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.
【答案】（1）12 （2）
（3）k的最大值是1999，此时公差为
【解析】
【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及，，，的值可计算出，，的值，再根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得，，的值，再由定义可求出的值；
（2）根据定义和以及可得的通项公式，进而求得的前n项和公式；
（3）由和一阶和数列的定义可得，从而可得公差，结合可得正整数k的最大值.
【小问1详解】
由题意，得，，，
所以，，
因为是等比数列，所以公比为，由此得，，，
所以，，，
所以，，.
【小问2详解】
设的二阶和数列的前n项和为，
由题意，得，，
所以.
小问3详解】
因为，
所以，解得.
设数列的公差为d，则，
得，
又因为，
所以，得，
所以k的最大值是1999，此时公差为.
【点睛】关键点点睛：此题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，逻辑推理能力，解题时充分理解新定义，运用新定义，再结合所学知识是解题的关键.