2024年甘肃省临夏州九年级诊断考试中考（一模）数学模拟试题(含解析)

这是一份2024年甘肃省临夏州九年级诊断考试中考（一模）数学模拟试题(含解析)，共31页。
数学试卷
本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区、考点、考场、座号填写清楚．
2．答题请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持答题卡纸面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．的平方根是（ ）
A．B．C．D．
2．2024年全国“两会”政府工作报告中指出：2023年我国经济总体回升向好，城镇新增就业1244万人，就业总体保持稳定．其中数据1244万用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．长方形的长为，宽为，则这个长方形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图为一次函数的图象，则下列正确的是（ ）

A．，B．，C．，D．，
5．下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）

A．三角形内角和定理B．三角形全等C．勾股定理D．轴对称图形
6．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
8．2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）
A．监测点AB．监测点BC．监测点CD．监测点D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上，记作，背向太阳的一面温度可以达到零下，记作 ．
13．如图，四边形内接于，若，则
14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
15．如图，菱形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，连接，若，则菱形的周长为 ．
16．古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为 km．
三、解答题（一）（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程：.
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20．我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明．
请根据以上思路，完成以下作图与填空：
已知：如图，中，．求证：．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹）
（2）证明：∵平分，
∴__________．
在和中，，
∴，
∴__________，
∵__________，
∴．
21．年月日，余名游客乘坐次“环西部火车游”麻辣汤专列从兰州西站出发，开启热辣滚汤之旅，品味天水美食，感受伏羲文化．此趟“天水麻辣沕”旅游专列行程天，游客不仅可以品尝天水的麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱等特色美食，还可游览麦积山石窟、天水古城、南宅子、仙人崖等天水著名景点．小明和小华准备借此次旅行机会，一品天水美食．他们各自在麻辣汤（记为）、烩麻食（记为）、素扁食（记为）、呱呱（记为）四种美食中随机任选一种品尝，每种美食被选中的可能性相同．
(1)小明选择品尝麻辣汤的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小华选择品尝不同美食的概率．
22．桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达，为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；
B．视力，轻度视力不良；
C．视力，中度视力不良；
D．视力，重度视力不良．
下面给出了部分信息：

抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
(1)填空：____________，____________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级共有学生800人，请估计八年级学生视力正常的人数．
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数解析式和一次函数解析式；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接 ，，求的面积．
25．如图，已知是的直径，射线交于点，的平分线交于点，过点作于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
26．综合与实践
小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．

(1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系；
(2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ；
(3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由．
27．已知抛物线 与轴交于 A，B两点（点 B位于点A的右侧），与轴交于点 C，P是抛物线上的一动点， 横坐标为．

(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图，若，点 P位于第四象限，过点 P作轴的平行线交于点D，过点P作轴的平行线交轴于点 E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点 P的对应点，平移后的抛物线与轴交于点 G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点 N，使得以 F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点 N的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
由题意知，的平方根是，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，的平方根是，
故选：B．
2．B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，1244万
∴数据1244万用科学记数法可表示为
故选：B
3．A
【分析】本题考查整式的加减，根据长方形周长的计算公式列代数式并化简，即可．
根据长方形的周长（长宽）计算即可．
【详解】解：∵长方形的长为，宽为，
∴这个长方形的周长是：；
故选：A．
4．C
【分析】根据一次函数的图象可知．
【详解】解：由一次函数的图象可知，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出．
【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜文”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
；
故选C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键．
7．C
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
8．B
【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“龘”有2张卡片，代入公式，即可作答．
【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率
故选：B
9．C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10．C
【详解】解：、由监测点监测时，函数值随的增大先减少再增大．故选项错误；
、由监测点监测时，函数值随的增大而增大，故选项错误；
、由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小，选项正确；
、由监测点监测时，函数值随的增大而减小，选项错误．
故选．
11．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟知平方差公式是解题的关键．
12．
【分析】本题考查相反意义的量，掌握用正数和负数表示意义相反的量是解题的关键．
【详解】解：零上记作，零下记作 ，
故答案为：．
13．##128度
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，再结合内接四边形对角互补，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
故答案为：．
14．2
【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系可知，∆=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，代入即可得出答案．
【详解】解：由题可知，，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，∆=b2-4ac=0是本题的关键．
15．28
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得的长，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
， ，
即O是的中点，
点是边的中点，，
是的中位线，
，
∴菱形的周长：，
故答案为：28．
16．40000
【分析】本题考查弧长的计算，圆的周长．设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，即可得到地球周长．
【详解】解：设地球的半径是，
太阳的光线是平行的，
，
的长，
∴
，
地球周长约是．
故答案为：40000．
17．
【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算根号、去绝对值和乘方，最后再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．x=.
【分析】先乘最简公分母去分母，再解方程.
【详解】方程两边都乘以最简公分母2（x-1），去分母得：2x=3+4(x-1)，
解这个整式方程得：，检验：当时，最简公分母2（x-1）≠0，
∴是原方程的解，∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解方程，解题的关键是先去分母再解方程.
19．不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、不等式组的解集在数轴上的表示方法．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示，如图，
．
20．；；；，．
【分析】（）先利用基本作图作的平分线得到，然后在截取，从而得到；
（）先证明得到，然后利用三角形的外角性质得到 ，从而得到；
本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质及其应用．
【详解】（）作图，、为所作；
（）证明: ∵平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；，．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和小明和小华选择品尝不同美食的情况，即可求解；
本题考查了概率公式和列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：一共有麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱四种美食，
∴选择品尝麻辣汤的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

∴一共有16种等可能的情况，恰好小明和小华选择品尝不同美食的情况有种，
∴恰好小明和小华选择品尝不同美食的概率为．
22．米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C；根据角的和差和解直角三角形可得，再说明四边形是矩形可得米，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C,
∵米，，
∴,
∵，
∴，
∴米，
∵是垂直于水平地面，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴点A位于最高点时到地面的距离米．
23．(1)；20
(2)八年级，理由见解析
(3)240人
【分析】本题考查了平均数、中位数的意义以及频数分布表，样本估计总体：
（1）根据中位数的定义求出a,先求出九年级C组所占百分比，然后求出m 即可；
（2）从平均数、中位数、众数各个方面分析即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
九年级C组所占百分比为，
∴，
∴；
故答案为：；20；
（2）解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
（3）解：，
即八年级学生视力正常的人数为240人．
24．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)或；
(3)．
【分析】（）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把坐标代入即可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象即可求解；
（）求出点坐标，由计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，连接、，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判断等等：
（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为．
26．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论；
（2）证明，则，，即可得到；
（3）证明，则，，由即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
即，
故答案为：；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
27．(1)，
(2)取得最大值，此时点的坐标为，
(3)点的坐标为，或，或，
【分析】（1）当时，，解方程即可；
（2）当时，，则，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，，可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）根据平移的性质可得平移后的抛物线解析式为，对称轴为直线，与轴交点，，，设，，分三种情况：当、为对角线时，则、的中点重合，当、为对角线时，则、的中点重合，当、为对角线时，则、的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
解得：，，
点，的坐标分别为，；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为，．
（3）解：，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，
平移后的抛物线解析式为，即，
平移后的抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴交于点，
，
为点的对应点，
，，
为平移后的抛物线的对称轴上一点．点是平移后的抛物线上一点，
设，，
当、为对角线时，则、的中点重合，
，
解得：
，；
当、为对角线时，则、的中点重合，
，
解得：，
，；
当、为对角线时，则、的中点重合，
，
解得：，
，；
综上所述，所有符合条件的点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质等，运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1）
过程
平均数
中位数
众数
八年级
4.82
a
4.9
九年级
4.82
4.8
4.7