2024-2025学年甘肃省武威市凉州区高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省武威市凉州区高二（上）期中数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l过点A(−1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为( )
A. y=x−2B. y=−x−2C. y=−x+2D. y=x+2
2.直线y=− 3x+1的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.椭圆4x2+y2=16的长轴长为( )
A. 4B. 6C. 16D. 8
4.直线x+ay+1=0与ax+y−1=0互相平行，则实数a的做等于( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
5.圆x2+y2−4x−2y=0的圆心坐标为( )
A. (4,2)B. (2,1)C. (−4,−2)D. (−2,−1)
6.抛物线x2=−12y的焦点坐标是( )
A. (0,−14)B. (0,−18)C. (0,18)D. (0,14)
7.已知双曲线x25−y24=1，则双曲线的离心率为( )
A. 15B. 55C. 95D. 3 55
8.点(1,1)到直线ax+2y+2=0的距离为2，则a的值为( )
A. 0B. 83C. 0或83D. 0或−83
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列方程不是圆M：(x−1)2+(y+ 3)2=1的切线方程的是( )
A. x−y=0B. x+y=0C. x=0D. y=1− 3
10.已知圆M的标准方程为(x−4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是( )
A. 圆M的圆心为(4,−3)B. 点(1,0)在圆内
C. 圆M的半径为5D. 点(−3,1)在圆内
11.已知双曲线C：x2−y23=1，则( )
A. 双曲线C的实半轴长为2B. 双曲线C的虚轴长为2 3
C. 双曲线C的离心率为2D. 双曲线C的渐近线方程为y=± 3x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线Ax+4y−2=0和直线2x−5y+C=0垂直，则A= ______．
13.已知圆C：(x−2)2+y2=4，直线l：y=−x+1被圆C截得的弦长为______．
14.直线3x+4y=1与圆O：x2+y2=1的位置关系是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求满足下列条件的直线方程．
(1)直线过点(1,2)，且与直线x+y−1=0平行；
(2)直线过点(1,1)，且与直线3x+y−1=0垂直．
16.(本小题15分)
已知直线l：y=2，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x+by−1=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=2 3，求b的值．
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l：y=x−1交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．
18.(本小题17分)
已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1和F2分别为左右焦点，焦距为6，且过(5,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过F2与椭圆交于A、B两点，求△ABF1的周长．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F( 3,0)，实轴长为2，经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线l的方程．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.A
5.B
6.B
7.D
8.C
9.AB
10.ABC
11.BCD
12.10
13. 14
14.相交
15.解：(1)由题意，可设所求直线的方程为x+y+m=0，
因为点(1,2)在直线上，可得1+2+m=0，解得m=−3，
故所求直线的方程为x+y−3=0；
(2)由题意，可设所求直线的方程为x−3y+m=0，
因为点(1,1)在直线x−3y+m=0上，所以1−3+m=0，解得m=2，
故所求直线的方程为x−3y+2=0．
16.解：(1)设圆心为(a,0)(a>0)，半径为r(r>0)，
则由题意得a=r=2，故该圆的方程为(x−2)2+y2=4．
(2)圆心(2,0)到直线x+by−1=0的距离为d=1 1+b2，
由垂径定理得：(1 1+b2)2+( 3)2=22，解得b=0．
17.解：(1)由抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，
得p2=1，∴p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程组得y=x−1y2=4x，消去y，得x2−6x+1=0，
Δ=36−4=32>0，
则x1+x2=6，x1x2=1．
抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，
∴直线l过抛物线C的焦点，
∴|AB|=x1+x2+2=8．
18.解：(1)由2c=6，得c=3，
又椭圆过(5,0)，∴a=5，
得b2=a2−c2=25−9=16，
∴椭圆的标准方程为x225+y216=1；
(2)动直线l过F2与椭圆交于A、B两点，
∴|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20，
∴△ABF1的周长为20．
19.解：(1)由已知：2a=2，c= 3．
∴a=1，b2=c2−a2=2
所以双曲线C的方程为x2−y22=1
(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
并设经过点M的直线l的方程为y−1=k(x−2)，即y=kx+1−2k
把y=kx+1−2k代入双曲线C的方程x2−y22=1，
得(2−k2)x2−2k(1−2k)x−(1−2k)2−2=0，(2−k2≠0)①
所以xM=x1+x22=k(1−2k)2−k2=2
解得k=4．
当k=4时，方程①成为14x2−56x+51=0
根的判别式△=562−56×51=280>0，方程①有实数解．
所以，直线l的方程为y=4x−7