2024-2025学年甘肃省武威市民勤一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省武威市民勤一中高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z(1−i)=1−2i，则|z|=( )
A. 2B. 5C. 102D. 10
2.已知向量a=(2,1),b=(x,−2)，若a//b，则a+b=( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (3,−1)D. (−3,1)
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=30°，c=5，a=8，则csA=( )
A. 35B. ±35C. −35D. 45
4.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB=a，AC=b，以向量a，b为基底，则向量AE=( )
A. 12a+14b
B. 12a+b
C. a+12b
D. 14a+12b
5.某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至多1名女生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”
6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=5，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为( )
A. 510B. 3434C. 1326D. 1313
7.已知底面边长为1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π3B. 4πC. 2πD. 43π
8.对于f(x)=cs2(x−π12)+sin2(x+5π12)−1，下列选项中正确的是( )
A. f(x)关于直线x=π3对称B. f(x)是偶函数
C. f(x)的最小正周期为2πD. f(x)的最大值为1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则( )
A. 可以排成9个不同的三位数B. 所得的三位数是奇数的概率为23
C. 所得的三位数是偶数的概率为23D. 所得的三位数大于400的概率为23
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若A=60°,a= 3，则△ABC外接圆的半径等于1
B. 若cs2A2=b+c2c，则此三角形为直角三角形
C. 若a=3,b=4,B=π6，则解此三角形必有两解
D. 若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>csA+csB
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则( )
A. FG//平面AED1
B. BC1//平面AED1
C. BC1与GF所成的角为60°
D. 点F在平面AED1内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b的夹角为5π6，且|a|=2 3，b=(−3,4)，则|a+2b|= ______．
13.假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(AB)= ______；P(A∪B)= ______．
14.若0<α<π2,0<β<π2,cs(α+β)=35,sin(β−π4)=513，则csα−sinα= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量a，b满足|a|=|b|，且cs〈a,b〉=45．
(1)若向量a+2b与ka+b共线，求实数k的值；
(2)若向量a+2b与ka+b垂直，求实数k的值；
16.(本小题15分)
一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，试求：
(Ⅰ)三台机床都不需要照顾的概率；
(Ⅱ)恰有两台机床需要照顾的概率；
(Ⅲ)至少有一台机床需要照顾的概率．
17.(本小题15分)
如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA//面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E−BD−C为30°，求四棱锥P−ABCD的体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且bcsA+acsB=2ccsA．
(1)求角A的值；
(2)已知D在边BC上，且BD=3DC，AD=3，求△ABC的面积的最大值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图①，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②．
(1)证明：CP⊥DE；
(2)若CE⊥平面DEP，且AB=2，求点C到平面PBD的距离．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.C
6.C
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.BCD
12.2 13
0.94
14.5665 2
15.解：(1)由向量a+2b与ka+b共线，
得存在实数μ，使得ka+b=μ(a+2b)，则k=μ1=2μ，
所以k=12．
(2)由|a|=|b|，cs〈a,b〉=45，得a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=45|a|2，
由向量a+2b与ka+b垂直，得(a+2b)⋅(ka+b)=0，
整理得ka2+(2k+1)a⋅b+2b2=0，即135k|a|2+145|a|2=0，而|a|≠0，
所以k=−1413．
16.解：(Ⅰ)设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件A1，A2，A3，由题意A1，A2，A3相互独立，且
P(A1)=0.9，P(A2)=0.8，P(A3)=0.8，
设“三台机床都不需要照顾”为事件B，
则P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)×P(A2)×P(A3)=0.9×0.8×0.8=0.576．
(Ⅱ)设“恰有两台机床需要照顾”为事件C，
所以P(C)=P(A1A2−A3+A1A2A3−+A1−A2A3−)=P(A1A2−A3)+P(A1A2A3−)+P(A1−A2A3−)=0.1×0.2×0.8+0.9×0.2×0.2+0.1×0.8×0.2=0.068，
(Ⅲ)设“至少有一台机床需要照顾”为事件D，它的对立事件为“没有一台机床需要照顾”，
则P(D)=1−P(D−)=1−P(B)=1−0.576=0.424．
17.(1)证明：连结EO
∵四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心
∴BD⊥AC=O，AO=CO
∵在△PAC中，E为PC的中点，∴PA//EO
又∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE
∴PA/​/平面BDE；
∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PO⊥BD
又∵BD⊥AC，AC∩PO=E，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC
又∵BD⊂平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE；
(2)解：由(1)可知，∠EOC=30°，∴∠OPC=60°，
∵底面边长为a，
∴CO= 22a，
∴PO= 66a，
∴四棱锥P−ABCD的体积=13a2⋅ 66a= 618a3．
18.解：(1)△ABC中，bcsA+acsB=2ccsA，
由正弦定理得sinBcsA+sinAcsB=2sinCcsA，
所以sin(A+B)=2sinCcsA，
因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC，
所以sinC=2sinCcsA，
又因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以csA=12；
又因为A是△ABC的内角，所以A=π3．
(2)因为BC=3DC，所以AD−AB=3(AC−AD)，所以AD=14AB+34AC；
所以9=116AB2+916AC2+38AB⋅AC，
即9=116c2+916b2+316bc，
由基本不等式得：9≥38bc+316bc=916bc，当且仅当b=4 33，c=4 3时等号成立；
所以△ABC面积的最大值为12×16× 32=4 3．
19.证明：(1)在图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点，
∴∠ACB=90°，又E为AC的中点，所以DE/​/BC，
在图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，且CE∩PE=E，CE，PE⊂平面CEP，
∴DE⊥平面CEP，又PC⊂平面CEP，
所以CP⊥DE；
(2)解：因为CE⊥平面DEP，PE⊂平面DEP，
所以CE⊥PE，又PE⊥DE，CE⋂DE=E，CE，DE⊂平面CDBE，
所以PE⊥平面CDBE，连接BE，则PE⊥BE，
因为AB=2BC=2CD=2，△BCD为等边三角形，

所以PD=1，BD=1，PE=EC= 32，EB= 1+( 32)2= 72，
所以PB= PE2+BE2= 34+74= 102，
取PB的中点F，连接DF，则DF= PD2−PF2= 1−58= 64，
设点C到平面PBD的距离为ℎ，
∵VP−BCD=VC−PBD，即13× 34×12× 32=13×12× 102× 64⋅ℎ，解得ℎ= 155，
即点C到平面PBD的距离为 155．