2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知{an}为等差数列，首项a1=2，公差d=3，若an+an+2=28，则n=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知a=(1,0,1)，b=(x,1,2)，且a⋅b=3，则向量a与b的夹角为( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
3.已知定点A(3,4)，点P为圆x2+y2=4上的动点，点Q为直线x+y−4=0上的动点.当|PQ|取最小值时，设△PAQ的面积为S，则S=( )
A. 4+ 22B. 4− 22C. 2+ 22D. 2− 22
4.已知等比数列{an}的公比为−12，前n项和为Sn.若S2m=31，Sm=32，则m=( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
5.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在C的一条渐近线x+ 2y=0上，O为坐标原点，若|OF|=|PF|且△POF的面积为2 2，则C的方程为( )
A. x22−y2=1B. x24−y22=1C. x26−y23=1D. x28−y24=1
6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. 32B. 155C. 105D. 33
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为−13，则C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 33D. 63
8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.{an}是等差数列，公差为d，前项和为Sn，若S5S8，则下列结论正确的是( )
A. dS5D. S170)上两点，焦点为F，抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为32，下列说法正确的是( )
A. p=1
B. 若OM⊥ON，则直线MN恒过定点(0,1)
C. 若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为12
D. 若MF=2FN，则直线MN的斜率为± 24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列{an}中，a4⋅a7=−512，a3+a8=124，公比q∈Z，则a10= ______．
14.已知直线y=kx+b是曲线f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线方程，则k+b= ______．
15.写出与两圆(x−1)2+y2=1，x2+y2−10x+6y+18=0均相切的一条直线方程为 ．
16.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AB，BC上，BE=BF=1，点G，H为棱DD1上的动点.若平面EFG/​/平面ACH，DH=λHG，则λ= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和Sn=n2−4n，n∈N∗．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)已知bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn}是等差数列；③a2=3a1．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．
20.(本小题12分)
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO= 66DO．
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B−PC−E的余弦值．
21.(本小题12分)
已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P是C上在第一象限内的一点，PF与x轴垂直，|OP|=3 5．
(1)求C的方程；
(2)经过点F的直线l与C交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积为18 3，求l的方程．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A为椭圆与y轴交点，F1，F2为椭圆左、右焦点，△AF1F2为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2− 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，点P(2,0)，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，当1k1+1k2=2时，求证直线l恒过一定点．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.AD
13.512
14.e
15.y=1
16.32
17.(1)证明：由题意，当n=1时，a1=S1=−3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=n2−4n−[(n−1)2−4(n−1)]
=2n−5，
∵当n=1时，a1=−3也满足上式，
∴an=2n−5，n∈N∗，
此时an+1−an=2为常数，
故数列{an}是等差数列．
(2)解：由(1)可得，bn=1anan+1
=1(2n−5)(2n−3)
=12(12n−5−12n−3)，
∴数列{bn}的前n项和为：
b1+b2+…+bn
=12(1−3−1−1)+12(1−1−11)+⋯+12(12n−5−12n−3)
=12(1−3−1−1+1−1−11+⋯+12n−5−12n−3)
=12(−13−12n−3)
=−16−14n−6．
18.解：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
设等差数列{an}的公差为d，
由题意可得：a2=a1+d=3a1，∴d=2a1，
数列的前n项和：Sn=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2×2a1=n2a1，
故 Sn− Sn−1=n a1−(n−1) a1= a1，
据此可得数列{ Sn}是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列{an}的公差为d，则：
S1= a1, S2= a1+(a1+d)= 2a1+d, S3= a1+(a1+d)+(a1+2d)= 3(a1+d)，
数列{ Sn}为等差数列，则： S1+ S3=2 S2，
即：( a1+ 3(a1+d))2=(2 2a1+d)2，整理可得：d=2a1，∴a2=a1+d=3a1．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：S2=a1+a2=4a1，∴ S2=2 a1，
则数列{ Sn}的公差为d= S2− S1= a1，
通项公式为： Sn= S1+(n−1)d=n a1，
据此可得，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2a1−(n−1)2a1=(2n−1)a1，
当n=1时上式也成立，故数列的通项公式为：an=(2n−1)a1，
由an+1−an=[2(n+1)−1]a1−(2n−1)a1=2a1，可知数列{an}是等差数列．
19.解：(1)连结BD，
因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，
又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ADB+∠DAM=90°，
又∠DAM+∠MAB=90°，
则有∠ADB=∠MAB，
所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC= 2；
(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A( 2,0,0)，B( 2,1,0)，M( 22,1,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(− 2,0,1)，AM=(− 22,1,0)，BM=(− 22,0,0)，BP=(− 2,−1,1)，
设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即− 2x+z=0− 22x+y=0，
令x= 2，则y=1，z=2，故n=( 2,1,2)，
设平面BMP的法向量为m=(p,q,r)，
则有m⋅BM=0m⋅BP=0，即− 22p=0− 2p−q+r=0，
令q=1，则r=1，p=0，故m=(0,1,1)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=3 7× 2=3 1414，
设二面角A−PM−B的平面角为α，
则sinα= 1−cs2α= 1−cs2= 1−(3 1414)2= 7014，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 7014．
20.解：(1)不妨设圆O的半径为1，OA=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=AC= 3，DO= DA2−OA2= 3,PO= 66DO= 22，
PA=PB=PC= PO2+AO2= 62，
在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，
同理可得PA⊥PB，又PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，
故PA⊥平面PBC；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则有B( 32,12,0),C(− 32,12,0),P(0,0, 22),E(0,1,0)，
故BC=(− 3,0,0),CE=( 32,12,0),CP=( 32,−12, 22)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BC=− 3x=0m⋅CP= 32x−12y+ 22z=0，可取m=(0, 2,1)，
同理可求得平面PCE的法向量为n=( 2,− 6,−2 3)，
设二面角B−PC−E为θ，显然θ为锐角，
则csθ=|m⋅n||m||n|=2 55，即二面角B−PC−E的余弦值为2 55．
21.解：(1)由题可知，点P的坐标为(p2,p)，
因为|OP|=3 5，所以(p2)2+p2=45，
解得p=6或p=−6(舍去)，
故C的方程为y2=12x；
(2)由题可知，P(3,6)，所以直线l的斜率一定存在，
可设l的方程为y=k(x−3)，A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立y=k(x−3)y2=12x，得k2x2−(6k2+12)x+9k2=0，
则x1+x2=6k2+12k2，x1x2=9，
所以△PAB的面积S=12|PF||x1−x2|=3 (x1+x2)2−4x1x2=3 144k2+144k4=18 3，
解得k2=2或k2=−23(舍去)，
故l的方程为y= 2x−3 2或y=− 2x+3 2．
22.解：(1)由题意得b=ca−c=2− 2a2=b2+c2，解得a=2b= 2c= 2，
∴椭圆C的方程为x24+y22=1；
(2)证明：由题意易知直线l的斜率不为0，
∴可设l：x=my+t，t≠2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+tx2+2y2−4=0，可得(m2+2)y2+2mty+t2−4=0，
由Δ=4m2t2−4(m2+2)(t2−4)>0，可得t2