福建省晋江市实验中学2024-2025学年上学期九年级期中数学联考卷 （解析版）

这是一份福建省晋江市实验中学2024-2025学年上学期九年级期中数学联考卷 （解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解出即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，即．
2. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】A、原式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
3. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cm，6cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，4cm，5cm，10cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、 ，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，根据二次根式的运算法则进行计算，逐一判断即可解答，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
【详解】A、，不能相加，故A不符合题意；
B、，不能相减，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
5. 用因式分解法把方程分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，利用提取公因式法把方程化为，即可作出判断，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
∴，，
故选：C．
6. 如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理得到，，，，根据得到，再根据菱形的判定解答即可，熟记三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】如图所示，连接，，，，
∵点E，F，G，H分别为、、、的中点，
∴、、、分别为、、、的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故选：C．
7. 根据某中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖．设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，依题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有183人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，
根据题意得：，
故选：B．
8. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ）
A 21B. 28C. 36D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形得性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
9. 如图，点是等边的边上的一点；下面四个条件不能判定是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解．
【详解】解：已知是等边三角形，
∴，
A、，
∴，
在中，，
∴，
∴，且，
∴，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
B、，
根据比例的性质可得，，且，
∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
C、，
∴，，，
∴，或者，或者，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
D、，
两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似，
∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意；
故选：D ．
10. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，AB分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义等知识点，由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
【详解】如图，连接，过点C作轴，

∵轴，
∴，
∵，，
∴，
设面积为，根据反比例函数k意义得到面积为，
∵，
∴与面积之比为，
∵的面积为，，
∴的面积为，
∴面积为，即的面积为，
解得，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，绝对值等知识点，先去绝对值符号，再合并同类二次根式即可，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
12. 如果：，那么_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，根据，设，，把，代入，即可得解，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【详解】设，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在小孔成像问题中，小孔到物体AB的距离是，小孔到像CD的距离是，若物体AB的长为，则像CD的长是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，如图，作于E，的延长线交于F，由，推出，由此即可解决问题，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解决此题的关键．
【详解】如图，作于E，的延长线交于F，
∵，
∴，，
∴，（相似三角形的对应高的比等于相似比），
由题意得，，，
∴，
∴，
故答案为：6．
14. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查的是一元二次方程的定义和根的情况，掌握一元二次方程的定义和根的个数与判别式的关系是解决此题的关键，根据一元二次方程的条件和根的情况列不等式即可．
详解】解：根据题意：且，
解得：且，
故答案为：且．
15. 如图，点是的重心，过点作，交AB于点，连接，若的面积为1，则的面积为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质等知识点，连接并延长交于D，根据点G是的重心，推出，，由，可知，根据相似三角形的性质计算的面积即可，正确将相似比转化为三角形的面积比是解题的关键．
【详解】如图，连接并延长交于D，
∵点G是的重心，
∴，，
∴，，
∵的面积为1，
∴的面积为2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
16. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．
【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正确；
∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而 ，
∴，
∴DEF与ABG不相似；所以②错误．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和平方差公式等知识点，先利用平方差公式，二次根式的乘除法则计算，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】
．
18. 用适当的方法解下列方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键，利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，．
19. 如图，直线，直线和被、、所截，如果，，，求的长．
【答案】．
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20. 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可．
【详解】已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，=k， D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：.
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，
∴，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴，∠A'＝∠A，
∵，∠A'＝∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴＝k．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是注意文字叙述性命题的证明格式.
21. 阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为，，则新方程的根为，
因为，
所以，
所以：所求新方程为．请用阅读材料提供的方法求新方程：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为________；
（2）已知一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数关系，一元二次方程的解等知识点，
（1）设原方程的根为，，则新方程的根为，，模仿例题求解即可；
（2）设原方程的根为，，则新方程的根为，，模仿例题求解即可；
解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题．
【小问1详解】
设原方程的根为，，则新方程的根为，，
∵，，
∴，，
∴所求新方程为，
故答案为：；
【小问2详解】
设原方程的根为，，则新方程的根为则新方程的根为，，
∵，，
∴，，
∴所求新方程为．
22. 某服装店以每件30元价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元
【解析】
【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的的值，从而得到答案．
【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，故舍去
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．
23. 材料：顶角为的等腰三角形是一种黄金三角形．已知：如图，为黄金三角形，且为顶角，．
（1）在上取一个点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，求AD的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作边的垂直平分线交于D，交于E，连接即可；
（2）由等腰三角形的性质求出，，由外角的性质得，则，，得，进而即可得出结论．
【小问1详解】
如图所示，作边的垂直平分线交于D，交于E，连接，
∴，
∴点D即为所求；
【小问2详解】
∵为黄金三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线、相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 已知，如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，过点C作于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
①求证：；
②求证：；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）①详见解析②详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，
（1）①根据根的判别式，判断出；②由①可知，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由②可知，，根据相似三角形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案；
熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴一元二次方程有两个相等实根，
∴；
由①可知，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
由②可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
（1）若平分时，求t的值；
（2）求的长（用含t的代数式表示）；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，根据矩形和角平分线的定义，易证是等腰直角三角形，得到，即可求出t的值；
（2）由题意可知，，根据矩形的性质，易证，得到，即可表示出的长；
（3）由题意可知，，，根据相似三角形的判定定理，分情况讨论，再根据相似三角形的性质列方程求出的值，进而得到点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，即，
又，
，
，
，
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
由题意可知，，，
当点P在点O上方时，如图，
若，则，
，，
解得：，，（不合题意舍去），
，
点的坐标为；
当点P在点O下方时，如图，
①若时，则，
，
解得：，（不合题意舍去），
，
点的坐标为；
②若，则，
，
整理得：，方程无解
这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握三角形相似的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．