株洲市南方中学2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)
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这是一份株洲市南方中学2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.若集合(i是虚数单位),,则等于( )
A.B.C.D.
2.已知一组数据,,,,平均数为2,方差为,则另一组数据,,,,的平均数、标准差分别为( )
A.2,B.2,1C.4,D.4,
3.已知奇函数,则( )
A.B.0C.1D.
4.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为( )
A.24B.32C.96D.128
5.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图,它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成,且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形,图2是一个菱形十二面体,它是由十二个相同的菱形围成的几何体,也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥(如图3),且平面与平面的夹角为45°,则( )
A.B.C.D.
6.在中,角A为,角A的平分线交于点D,已知,且,则( )
A.1B.C.9D.
7.设椭圆的左、右焦点分别为,,直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8.在锐角中,,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.已知随机变量,记,,则( )
A.B.C.D.
10.已知当时,,并且满足,,则下列关于函数说法正确的是( )
A.B.周期
C.的图象关于对称D.的图象关于对称
11.已知等比数列的公比为q,其前n项的积为,且满足,,,则( )
A.B.
C.的值是中最大的D.使成立的最大正整数数n的值为198
三、填空题
12.若,则__________.
13.若直线被圆所截得的弦长为4,则的最小值为_______.
14.已知函数,若函数的最小值恰好为0,则实数a的最小值是________.
四、解答题
15.如图,在四棱锥中,,,,点E在上,且,.
(1)若F为线段中点,求证:平面.
(2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.
16.人工智能(AI)是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m()分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得-1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X,当时,答题结束,机器人挑战成功,当时,答题也结束,机器人挑战失败.
(1)当时,求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望;
(2)当时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
17.正数数列,满足,,且,,成等差数列,,,成等比数列.
(1)求,的通项公式;
(2)求证:.
18.已知双曲线的右顶点,它的一条渐近线的倾斜角为.
(1)过点作直线l交双曲线C于M,N两点(不与点E重合),求证:;
(2)若过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交,交点为A,B,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
19.已知函数.
(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明;
(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为,,,…,,…,设,为数列的前n项和.
①证明:;
②问是否存在使得?若存在,求出n的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.答案:C
解析:由已知得,故,故选C.
2.答案:C
解析:因为一组数据,,,,的平均数为2,方差为,
所以另一组数据,,,,的平均数为,方差为,即平均数、标准差分别为.
故选:C.
3.答案:A
解析:,
是奇函数,
,
,
,.
故选:A
4.答案:C
解析:如图所示,设P在底面的投影为G,易知正四棱锥的外接球球心在上,
由题意球O的半径,,
所以,,则,
故中,边AB的高为,
所以该正四棱锥的侧面积为.
故选:C.
5.答案:A
解析:
连接、相交于点O,连接,因为四棱锥为正棱锥,
所以平面,取的中点E,连接、,
因为,,所以,,
所以即为平面与平面的夹角,即,
设,则,
所以,,
在中,由余弦定理,
故选:A.
6.答案:C
解析:由可得:,
因为B,C,D三点共线,故,即,
所以,
以A为原点,以为x轴建立平面直角坐标系如图所示,
因为,,则,
因,故设,,
则,,,
由得,
解得,,故,,
所以.
故选:C
7.答案:C
解析:
设,
由已知可得,,
根据椭圆的定义有.
又,所以.
在中,由余弦定理可得,
,
即,
整理可得,
等式两边同时除以可得,,
解得,或(舍去),
所以.
故选:C.
8.答案:D
解析:在锐角中,
可得,
,,
所以由正弦定理可知
,故选D.
9.答案:ABD
解析:由题意可知:,且,
可得,故A正确;
且,
即,所以,故B正确;
根据期望和方差的性质可知:,,故C错误,D正确;
故选:ABD.
10.答案:AD
解析:由于时,,并且满足,
则函数的图象关于对称.
由于,所以,
故,
故,
故函数的最小正周期为,
根据,知函数的图象关于对称.
由于时,,
,故A正确,
由于函数的最小正周期为,故B错误;
由函数的图象关于对称,易知的图象不关于对称,故C错误;
根据函数图象关于对称,且函数图象关于对称,知函数图象关于对称,又函数的最小正周期为,则函数图象一定关于对称,故D正确.
故选:AD.
11.答案:ABD
解析:,,.
,,
又,.故A正确.
由A选项的分析可知,,,,,故B正确,C不正确.
,
,
使成立的最大正整数数n的值为198,故D正确.
故选:ABD
12.答案:
解析:的展开式通项是:,
依题意得,,即,所以,
故答案为:
13.答案:
解析:由,则圆心为,半径为2,
由直线被圆所截得的弦长为4,故直线过圆心,
所以且,,
则,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:
14.答案:
解析:令,则,所以,
令,则,
令,则,
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
故当时,取得最小值,
故当,即时,函数的最小值恰好为0,
令,则,
令,得;令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,所以a的最小值为.
故答案为:.
15.答案:(1)证明见解析;
(2)
解析:(1)取的中点为S,接,,则,,
而,,故,,故四边形为平行四边形,
故,而平面,平面,
所以平面.
(2)
因为,故,故,,
故四边形为平行四边形,故,所以平面,
而平面,故,,而,
故建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,,
设平面的法向量为,
则由可得,取,
设平面的法向量为,
则由可得,取,
故,
故平面与平面夹角的余弦值为
16.答案:(1)分布列见解析,
(2)
解析:(1)当时,第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,
根据题意可知:,,,
所以第一轮答题后累计得分X的分布列为:
所以.
(2)当时,设“第六轮答题后,答题结束且挑战成功”为事件A,
此时情况有2种,分别为:
情况①:前5轮答题中,得1分的有3轮,得0分的有2轮,第6轮得1分;
情况②:前4轮答题中,得1分的有3轮,得分的有1轮,第5.6轮都得1分;
所以.
17.答案:(1);;
(2)证明见解析.
解析:(1),,成等差数列,,,成等比数列,
,,
数列,为正数数列,,
当时,,,
,且,则,
,,,,
,
数列是以4为首项,2为公差的等差数列,
,,
当时,满足上式,,
当时,,
当时,满足上式,.
(2)证明:
当时,;
当时,;
当时,
.
综上所述,对一切正整数n,有.
18.答案:(1)证明见解析;
(2)
解析:(1)
易知,,,,
故双曲线C的方程为.
直线的方程为,
联立,
其中,且时,
则,,,
,
.
(2)由题意可知,若直线有斜率则斜率不为0,
故设直线方程为:,
设,,,
,,
点P在双曲线C上,,
,
③,
又,,
,④,
联立,
,
⑤,⑥,
A,B分别在第一象限和第四象限,,,
由④式得:,
⑦,
将⑤⑥代入⑦得:,
,
,
令,
由对勾函数性质可得上单调递减,在上单调递增,
,.
19.答案:(1)函数在区间内恰有两个极值点,证明见解析;
(2)①证明见解析;②不存在,理由见解析
解析:(1),设,又,
当时,,,在上单调递减,
,在上无零点;
当时,,,在上单调递增,
,,在上有唯一零点;
当时,,,在上单调递减,
,,在上有唯一零点.
综上,函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变,
故函数在区间内恰有两个极值点.
(2)①由(1)知在无极值点;在有极小值点,即为;
在有极大值点,即为,
同理可得,在有极小值点,在有极值点,
由得,,,
,,,,
,,,
由函数在单调递增得,
,
由在单调递减得,
.
②同理,,
,
由在上单调递减得,
,
且,,
当n为偶数时,从开始相邻两项配对,每组和均为负值,
即,结论成立;
当n为奇数时,从开始相邻两项配对,每组和均为负值,还多出最后一项也是负值,
即,结论也成立,
综上,对一切,成立,故不存在使得.
X
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