2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A．{1} B．{1，2}

C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}

【答案】C

【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；

【详解】解：因为，，所以

故选：C

2．已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（    ）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c

【答案】D

【分析】根据对数函数、指数函数和余弦函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．

【详解】由0.51.002＜0.50＝，

∴b＜a＜c．

故选：D．

3．已知，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出，根据判断，从而可得答案.

【详解】因为，所以，则，

又因为，

所以，

所以，

故选：D.

4．函数的图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围

【详解】函数的定义域为，

由图可知，则，

由图可知，所以，

由，得，，

由图可知，得，所以，

综上，，，，

故选：D

5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上递增，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（    ）

A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣2，1）∪（2，+∞）

C．（﹣2，1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【答案】B

【分析】由奇偶性得出函数在上的单调性，然后分类讨论求解不等式可得．

【详解】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，+∞)上递增，f(2)＝0，

∴函数f(x)在(﹣∞，0)上为减函数，且f(﹣2)＝f(2)＝0，

则不等式(x﹣1)f(x)＞0等价为或，

解得或，

即不等式的解集为(﹣2，1)∪(2，+∞)．

故选：B．

6．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，

即，解得.

故选：C.

7．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（    ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67）

A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467

【答案】B

【分析】利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，即可解出．

【详解】设地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，

由题意可得，

所以，

所以，

，

故选：B．

8．设函数，则不等式的解集是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】由函数单调性结合特值去排除错误选项即可简单快捷地解决此题.

【详解】

则函数为上的奇函数.

又当时，单调递增，且

当时，单调递增，且

则为上单调递增函数，

又函数为上的奇函数，

则为上单调递增函数，且当时

当时，不等式可化为，不成立.

则选项BC错误；

当时，不等式

可化为，，即，

但是，则此不等式不成立，故不是不等式的解.

则选项D错误：只能选A.

故选：A

二、多选题

9．已知a＞b＞c＞0，下列结论中一定正确的是（   ）

A．ab＞bc B．

C．tana＞tanb D．

【答案】AD

【分析】直接利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，利用特例判断C，构造函数判断D.

【详解】对于A：由于a＞b＞c＞0，所以ab＞bc，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：当时，，故C错误；

对于D：设，由于函数在（0，＋∞）上单调递增，故当a＞b＞c＞0，不等式成立，故D正确.

故选：AD.

10．下面选项中正确的有（    ）

A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”

B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”

C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件

D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】选项A，求出原命题的否命题后再进行判断；选项B，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项C，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项D，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.

【详解】对于A：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A正确；

对于B：命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，故B错误；

对于C：当α=β=时，tanα，tanβ均无意义，“tanα=tanβ”不成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=kπ，k∈Z”，即为“α=kπ+β，k∈Z”.故“α=kπ+β，k∈Z”不是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C错误；

对于D：设a，b∈R，则“a≠0，b=0”时，则“ab=0”，反过来，a，b∈R，若“ab≠0”时，则能推出“a≠0”且“b≠0”，故设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．

故选：AD．

11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，， 则（    ）

A． B．不等式的解集是

C．函数是周期函数 D．当关于的方程恰有两个不同的解时，

【答案】BC

【分析】由取，结合奇函数性质可求，判断A，根据周期函数定义结合条件求函数的周期，结合奇偶性周期性性质判断B，C，作出函数与函数的部分图象，结合图象判断D.

【详解】对于A，由取可得，又函数是定义域为的奇函数，所以，因为当时，，所以，所以，A错；

对于C，由已知可得，故函数为周期函数，C对；

对于B，由奇函数的性质可得，则，，

当时，，当时，，则，

当时，，则，

当时，，则.

故当时，不等式的解为，

又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对；

对于D，作出函数与函数的部分图象如图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D错.

故选：BC.

12．下列结论正确的是（    ）

A．若，都是第一象限角，且，则

B．函数的最小正周期是

C．函数的最小值为

D．已知函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则方程的所有实根之和为4

【答案】BCD

【分析】直接利用：三角函数的值，三角函数的性质，函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用判断、、、的结论．

【详解】解：对于：若，都是锐角，且，则，故错误；

对于：函数的最小正周期是，故正确；

对于：函数，

当时，函数的最小值为，故正确；

对于：函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，即关于对称，

所以方程的所有实根之和为4，故正确；

故选：．

三、填空题

13．计算：      ．

【答案】

【分析】根据指数幂和对数运算公式，化简求值.

【详解】原式.

故答案为：

14．已知实数x，y>0，且，则的最小值是        ．

【答案】/

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】∵x，y>0，且，

∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值是，

故答案为：

15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过     小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）

参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155

【答案】5

【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.

【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,

x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，

由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，

所以，两边取对数得， ，

，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.

故答案为：5

四、双空题

16．分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形ABC与地面的唯一接触点恰好是弧的中点D，已知正三角形ABC的边长为2cm，动点P从A处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点P在t（单位：秒）时距离地面的高度为y（单位：cm），则当t＝3秒时，y＝              cm；当0≤t≤2时，y＝              ．（用t表示）

【答案】         

【分析】当t＝3时，P走到了的中点，计算可得，当0≤t≤2时，P在上移动，可求得，从而可求得．

【详解】，当t＝3时，P走过的路程为，由于，

故此时P走到了的中点，则y＝PAsin∠PAC+OD，

又，

所以，

当0≤t≤2时，P在上移动，其路程为，由l＝αr，可得，

所以P到AC边的距离为，

故．

故答案为：；．

五、解答题

17．已知函数的定义域是.

（1）当时，求函数的值域；

（2）设，，都有，若是的充分不必要条件，写一个满足题意的集合并说明理由.

【答案】（1）；（2）(答案不唯一)，理由见解析.

【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；

（2）求出，都有的充要条件，然后可得答案.

【详解】当时，，

所以，

所以值域是.

（2）据题意使“，都有”为真命题的充要条件是，

即有，其解集是，

故使是的充分不必要条件的集合可以是.

18．已知函数．

(1)求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；

(2)若，，求角的大小．

【答案】(1)对称中心为；单调递减区间为

(2)

【分析】（1）令可求出对称中心，令可求出递减区间；

（2）根据题意可得，结合范围直接运算求解.

【详解】（1）令，解得，

所以函数图像的对称中心为；

令，解得，

所以函数的单调递减区间为.

（2）因为，

且，则，

所以，解得.

19．已知函数（m∈R）．

(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；

(2)对任意，都有，求m的取值范围．

【答案】(1)m＝4，；

(2).

【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.

（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.

【详解】（1）,

设，在上，则，

若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，

所以，得：m＝4，

由得：，

由，知：两个解关于对称，即，

综上，；

（2）由（1），当时，，

要使恒成立，即，得，

当t＝0时，不等式恒成立，

当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，

当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，

综上，实数m的取值范围是．

20．已知函数，其中实数a＞0且a≠1.

(1)若关于x的函数在上存在零点，求a的取值范围；

(2)求所有的正整数m的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m，7]，均有不等式成立.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）求出g（x）的解析式，令g（x）＝0，则ax2＋x＝1，得到，利用换元法求解函数的值域，得到a的取值范围；

（2）不等式转化为：1﹣a＞x|ax﹣1|，即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，推出恒成立，利用函数的最值转化求解m的范围，然后可得答案.

【详解】（1），

令g（x）＝0，则ax2＋x＝1，

由题意，，使得ax2＋x＝1，所以，

令，所以a＝t2﹣t，在上单调递增，所以.

所以a的取值范围为

（2）当a∈（0，1）时，在（0，＋∞）上单调递增，

而∈（0，1），x∈[m，7]，，

所以，

所以，

即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，

x＝7时，a﹣1＜49a﹣7＜1﹣a，所以，

所以函数y＝ax2﹣x的对称轴方程为，

所以时，恒成立，

当m≤3时，，

则﹣1＞4a2﹣4a，所以（2a﹣1）2＜0，不可能，舍去；

当4≤m≤6时，，

所以a（1﹣m2）＜1﹣m，即a（1＋m）＞1，

即a＞，而，所以，又

所有m的正整数的取值为6.

21．已知函数．求：

(1)为偶函数的充要条件，并说明理由；

(2)的最大值．

【答案】(1)为偶函数的充要条件为；理由见解析

(2)

【分析】（1）由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解；

（2）根据函数的解析式，分类和两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】（1）解：若为偶函数，则对任意的恒成立，

即，

所以对任意的恒成立，故；

若，则，

所以，故为偶函数，

所以为偶函数的充要条件为.

（2）解：因为，

当时．，

若，则在上为减函数，所以，

者，则在上为增函数，在上为减函数，

所以，

当时，，

若，则在上为增函数，所以，

若，则在上为增函数，在上为减函数，

所以，

由上可知，当时，，

因为，所以，

当时，，因为，

所以当时，，当时，，

当时，．

因为，所以，

所以．

22．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；

①；

②；

③.

(2)求证：，.

【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数的最小值为；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令，利用二次函数的基本性质可求得函数的最小值；

（2），将所证不等式等价转化为，分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.

【详解】（1）证明：选①，；

选②，；

选③，.

，令，

因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，

故，则，所以，

所以，当且仅当时取“”，

所以的最小值为.

（2）证明：，

，

当时，，，所以，

所以，所以成立；

当时，则，且正弦函数在上为增函数，

，所以，，

所以成立，

综上，，.