2023-2024学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是不等式的是（ ）
A．x+yB．3x＞7C．2x+3＝5D．x3y2
2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．﹣＜﹣C．a+3＜b+3D．﹣3a＞﹣3b
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝50°，则∠BAD的度数为（ ）
A．25°B．50°C．65°D．100°
4．（3分）五根小棒的长度（单位：cm）分别为6，7，8，9，10，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8B．6，8，10C．7，8，9D．7，9，10
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a＝b，则a2＝b2
D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
7．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
8．（3分）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（ ）
A．6或B．6或C．或D．6或或
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍： ．
12．（3分）如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
13．（3分）如图，DE，MN分别垂直平分AB，AC，且BC＝10cm，则△ADM的周长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝6，则AC＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2+2，点M，N分别是边AB，AC上的动点，沿MN所在直线折叠△ABC，使点A的对应点A′始终落在边BC上，若△MA′B为直角三角形，则BM的长为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（9分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC的长．
（2）求证：△ABC是直角三角形．
17．（9分）证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 ．
求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
18．（9分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
20．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
23．（10分）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）
2023-2024学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据不等式的定义，逐项判断即可．
【解答】解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；
C、2x+3＝5是等式，故此选项不符合题意；
D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的定义．解题的关键是掌握不等式的定义．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【解答】解：A、不等式两边加﹣3，不等号的方向不变，故本选项错误，不符合题意；
B、不等式两边乘﹣，不等号的方向改变，故本选项正确，符合题意；
C、不等式两边加3，不等号的方向不变，故本选项错误，不符合题意；
D、不等式两边乘﹣3，不等号方向改变，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．【分析】根据已知的AB＝AC得到三角形ABC为等腰三角形，再根据AD是BC边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AD平分∠BAC，进而根据已知的∠BAC＝50°，利用角平分线的定义即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝50°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及角平分线的定义，根据已知的AD为等腰三角形底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AD也为顶角的角平分线是解本题的关键．
4．【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵72+82＝49+64＝113，92＝81，
∴72+82≠92，
∴以7，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵72+92＝49+81＝130，102＝100，
∴72+92≠102，
∴以7，9，10为边不能组成直角三角形，故本选不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记掌握勾股定理的逆定理是解此题的关键，如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5．【分析】根据三角形的内角和求出∠B，根据余角的定义求出∠BCD，根据含30度角的直角三角形性质求出BC＝2AD，AB＝2BC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出BC＝2BD，AB＝2BC．
6．【分析】根据逆命题与原命题的关系，先写出四个命题的逆命题，然后依次利用对顶角的定义、平行线的性质、有理数的性质进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故A选项错误；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故B选项正确；
C、若a＝b，则a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题，故C选项错误；
D、若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0的逆命题为若a2+b2＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．考查逆命题是否为真命题，关键先找出逆命题，再进行判断．
7．【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；
②若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2是真命题；
③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
9．【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函数进行求解．
【解答】解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不同位置．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】x与5的差为x﹣5，不大于即小于等于，x的2倍为2x，据此列不等式．
【解答】解：由题意得：x﹣5≤2x；
故答案为：x﹣5≤2x
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意抓住关键词语，弄清不等关系．
12．【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解HL定理．
13．【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE，MN分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝DB，AM＝CM，
∴△ADM的周长＝AD+DM+AM＝BD+DM+CM＝BC＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质是解答此题的关键．
14．【分析】根据角平分线性质得出CD＝DE＝6，求出BE＝DE，根据勾股定理求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC
∴∠B＝∠CAB＝45°，AC⊥BC，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，∠AED＝90°，
∴∠DEB＝90°，∠EDB＝45°＝∠B，
∴DE＝BE＝6，
在△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝6，
∵AC＝BC，
∴AC＝CD+BD＝6+6，
故答案为：6+6．
【点评】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力．
15．【分析】①如图1，当∠A′MB＝90°，A′与C重合，M是AB的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MA′B＝90°，推出△BMA′是等腰直角三角形，得到BM＝MA′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠A′MB＝90°，A′与C重合，M是AB的中点，
∴BM＝AB＝ （2+2）＝；
②如图2，当∠MA′B＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
∴△BMA′是等腰直角三角形，
∴BM＝MA′，
∵沿MN所在直线折叠△ABC，使点A的对应点A′，
∴AM＝A′M，
∴BM＝AM，
∵BC＝2+2，
∴BM+AM＝AM+AM＝2+2，
∴AM＝2，
∴BM＝2，
综上所述，若△MA′B为直角三角形，则BM的长为 2或+1，
故答案为：2或+1．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD的长；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△CDB中，∵BC＝15，DB＝9，
∴根据勾股定理，得CD＝＝12，
（2）证明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2
∴122+AD2＝202
∴AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25
∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，求出AB是解本题的关键．
17．【分析】利用HL证明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'可得CD＝C'D'，结合中线的定义可得BC＝B'C'，再利用SAS可证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
【解答】解：AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（写成△ABC≌△A'B'C'也对）；
证明：∵∠C＝∠C'＝90°，AD＝A'D'，AC＝A'C'，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL），
∴CD＝C'D'．
∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，
∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，
∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，
∴BC＝B'C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'是解题的关键．
18．【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
19．【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可．
（2）画一个边长，2，的三角形即可；
（3）画一个边长为的正方形即可．
【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；
（2）三边分别为：、2、（如图2）；
（3）画一个边长为的正方形（如图3）．
【点评】考查了格点三角形的画法．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．
21．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝90°
∴DE⊥PD；
（2）连接PE，如图所示：
∵AC＝10，BC＝12，PA＝3，
∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3，
设DE＝BE＝x，则CE＝12﹣x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2，
在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝32+x2，
∴72+（12﹣x）2＝32+x2
解得，
∴．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
22．【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值；
（2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE＝，
2t＝（6﹣t），
t＝；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
CD＝CE，
6﹣t＝•2t，
t＝3．
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
23．【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可；
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有4种情况，分别画图即可；
（3）根据（1）（2）中的图形总结即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示：
图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，
图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；
（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
①该三角形是直角三角形；
②该三角形有一个角是最小角的2倍；
③该三角形有一个角是其中一个角的3倍．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道不可多得的好题．