2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算结果中正确的是（ ）
A．＝aB．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a2•a3＝a6D．a5÷a3+a2＝2a2
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．2
4．（3分）估算的结果（ ）
A．在6和7之间B．在7和8之间
C．在8和9之间D．在9和10之间
5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝3，EF＝6，则DF的长度是（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．（3分）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，AC＞AB，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
7．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
8．（3分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
9．（3分）我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知m，n满足，则的值为 ．
12．（3分）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是 ．
13．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝ ．
15．（3分）在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的中线和角平分线，AD＝BE，且AD⊥BE，则＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2024．
18．（8分）开学初，为评估九年级学生的数学学情，并采取有针对性的教与学，以在中考取得佳绩，我校抽取了九下部分学生的适应性考试数学成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）若我校九年级共有1800人参加了这次考试，请你估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若直径AD＝10，csB＝，求FD的长．
20．（8分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提配市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售500个，3月份销售720个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
21．（9分）综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶．
【阅读理解】
（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）
【问题解决】
（2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；
（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳．
22．（10分）综合与探究
【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．
【初步探究】
（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．
【类比探究】
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是CD，BC上的点，且DE＝1．连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，请直接写出BF的长．
【深入探究】
（3）如图3，D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且∠APD＝120°，∠MPC＝60°．试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
（4）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，AD＝CD，，，请直接写出BC的长．
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，可得如图：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．
2．【分析】A．利用二次根式的性质即可求出答案；
B．利用幂的乘方与积的乘方运算法则即可得到答案；
C．运用同底数幂的运算法则进行计算；
D．先算除法再计算加法即可得到答案．
【解答】解：A.＝|a|，故A选项不符合题意；
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B选项不符合题意；
C．a2•a3＝a5，故C选项不符合题意；
D．a5÷a3+a2＝2a2，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的计算及幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简及幂的运算法则．
3．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0可得：m2﹣m﹣1＝0，
即m2﹣m＝1；
故选：A．
【点评】此题应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．
4．【分析】先根据二次根式乘除法的计算方法将原式化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：原式＝×4＝4＝，
∵＜＜，
∴9＜＜10，
即9＜×＜10，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握二次根式乘除法的计算方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键．
5．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出EF，进而求出DF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝6，
∴＝，
解得：DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+6＝10，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．【分析】①根据作图得不出BP⊥AC；
②根据作图得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；
③根据作图得出PB＝PC，进而得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；
④根据作图得出AB的中点，再以AB为直径作圆，进而得出∠BPC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：①由作图不能得出BP⊥AC，故①作法不正确；
②由作图得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正确；
③由作图知P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∴∠PBC＝∠C＝45°，
故③作法正确；
④由作图得：P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，
∴∠PBC＝45°，
故④作法正确；
故选：B．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握几种基本作图是解题的关键．
7．【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
8．【分析】两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【解答】解：因为一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，
所以方程无解，
原方程可整理为x2+kx﹣k＝0，
则k2﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得﹣4＜k＜0，
所以四个选项中的选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．
9．【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．
【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣3，m）和（5，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
根据表中信息，抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2＝0，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
∵yy＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣），抛物线的开口方向向上，抛物线经过（0，﹣2），（2，﹣2），
∴当x＝1时，y由最小值﹣，
当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣2；
当x＝4时，y＝，
如图：
∵当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴﹣＜k＜﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
10．【分析】根据题意，作如图示辅助线，设B点坐标为（m，n），则BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，根据勾股定理列出方程解方程得到m值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到n＝5（n﹣3），解得n＝，继而得到n值，从而计算出k值即可．
【解答】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，则四边形OCAF、COED、ADEF、BGCD均为矩形，
∴BG＝CD，AF＝DE，CD＝OE，
设B点坐标为（m，n），则BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，
∵AC＝AB＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，
∵BD＝3CD＝3m，
∴AF＝DE＝n﹣3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，
∴B（1，n），A（5，n﹣3），
∵点B（1，n），A（5，n﹣3）在反比例函数图象上，
∴n＝5（n﹣3），解得n＝，
∴k＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴3m＝2（m+n），
3m＝2m+2n，
3m﹣2m＝2n，
m＝2n，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
∴能让灯泡L2发光的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．【分析】根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可．
【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，
即：阴影部分的面积＝；
故答案为：24．
【点评】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
14．【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∠EFH＝∠B，
∴△EFH∽△EBP，
∴，
∴，
解得PB＝6，
∴BC＝PB+CP＝6+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求出BP的长是解答本题的关键．
15．【分析】过D作DF∥BE，交AC于点F，因为AD⊥BE，所以FD⊥AD，证△CFD∽△CEB，因为AD是△ABC的中线，可得＝＝，CF＝EF，设FD＝x，则AD＝2x，BE＝2x，由勾股定理得AF的长，因为BE为△ABC的角平分线，AD⊥BE，证△ABM≌△DBM（ASA），可得AB＝BD，AM＝DM，证△AEM∽△AFD，可得＝，AE＝EF，可得BM、AM的长，由勾股定理得AB的长，可得BC的长，所以AC＝，可得AC的长，即得的值．
【解答】解：过D作DF∥BE，交AC于点F，
，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，即CD＝BD＝BC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠CEB，∠CDF＝∠CBE，
∴△CFD∽△CEB，
∴＝＝，
∴CF＝EF，
∵AD⊥BE，DF∥BE，
∴FD⊥AD，即∠ADF＝90°，
∵BE＝AD，
∴AD＝2FD，
设FD＝x，则AD＝2x，BE＝2x，
由勾股定理得，AF＝＝x，
∵BE为△ABC的角平分线，
∴∠ABM＝∠DBM，
∵AD⊥BE，
∴∠DMB＝∠AMB＝90°，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM，即AM＝AD，AB＝BD，
∵DF∥BE，
∴∠AEM＝∠AFD，∠AME＝∠ADF，
∴△AEM∽△AFD，
∴＝，
∴AE＝EF，EM＝x，BM＝BE﹣EM＝x，AM＝AD＝x，由勾股定理得AB＝＝x，
∴BD＝AB＝x，
∴BC＝2BD＝x，
∵CF＝EF，
∴AC＝＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中位线、角平分线，证△CFD∽△CEB，△ABM≌△DBM，△AEM∽△AFD是本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣1+2﹣
＝3﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝﹣
＝，
当x＝2024时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18．【分析】（1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数；
（2）总人数乘以“中”对应百分比求出其人数即可补全图形．
（3）该校九年级学生的数学成绩达到优秀的人数＝1800×成绩类别为“优”的学生所占比例．
【解答】解：（1）22÷44%＝50（名），
答：这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）50×20%＝10（人），
∴样本中表示成绩类别为“中”的人数有10人；
补全图形如下：
（3）1800×＝360（名），
答：估计该校九年级共有360名学生的数学成绩达到优秀．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由csB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，csB＝，
∴cs∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cs∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
20．【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔3月份的销售量＝该品牌头盔1月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（1000﹣10y）个，利用总利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让市民得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个，
根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，
整理得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝50，y2＝80，
又∵要尽可能让市民得到实惠，
∴y＝50．
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】（1）易得c＝，抛物线的对称轴为直线x＝3，那么﹣＝3；抛物线经过点（1.5，1.575），代入抛物线解析式可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式可得二次函数的最大值，与1.82米比较可得老师能否参加活动；
（3）取二次函数的y的值为1.7，求得对应的x的值，进而求得两个x之间的间距，除以两个人之间最小的间距0.6，算出合适的人数即可．
【解答】解：（1）∵摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
由题意得：抛物线经过点（0，），（1.5，1.575）．
∴．
解得：．
∴图中抛物线的解析式为：y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9；
（2）∵﹣0.1＜0，
∴二次函数有最大值＝＝＝1.8．
∵1.8m＜1.82m，
∴他不适合参加本次运动；
（3）当y＝1.7时．
﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7．
0.1x2﹣0.6x+0.8＝0．
x2﹣6x+8＝0．
（x﹣2）（x﹣4）＝0．
∴x1＝2，x2＝4．
∴4﹣2＝2（米）．
∵相邻两人之间间距至少为0.6米，
∴间距个数为：2÷0.6＝3．
∴最多可供4人齐跳．
答：最多可供4人齐跳．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线与y轴交点的纵坐标为抛物线解析式中c的值；抛物线上两个点的纵坐标相等，横坐标分别为x1，x2，那么抛物线的对称轴为直线x＝．
22．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE即可；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AGF≌△AEF得出GF＝EF，设BF＝x，则EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，根据勾股定理求出x几颗解答；
（3）延长PM至F，使得PF＝PC，连接CF，BF，证明△BCF≌△ACP，△DPM≌△BFM，得出AP＝BF，PD＝BF即可求证；
（4）过点D作DE⊥BD，连接BE，CE，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，先证明△ABD≌△CED，得出AB＝CE，然后求出BF和CF即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图：
∴DE＝BG＝1，AE＝AG，∠DAE∠BAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠C＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF＝EF，
设BF＝x，则EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，
∴EF2＝CF2+CE2，即（x+1）2＝（3﹣x）2+4，
解得x＝，
∴BF＝；
（3）解：PA＝PD，延长PM至F，使得PF＝PC，连接CF，BF，如图：
∵∠MPC＝60°，
∴△PFC是等边三角形，
∴CF＝CP，∠FCP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠BCF＝∠ACP，
∴△BCF≌△ACP（SAS），
∴PA＝BF，∠APC＝∠BFC，
∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣60°，
∴∠MPD＝360°﹣∠APD﹣∠APF＝360°﹣120°﹣（∠APC﹣60°）＝300°﹣∠APC，
∵∠MFP＝360°﹣∠PFC﹣∠BFC＝360°﹣60°﹣∠BFC＝300°﹣∠BFC，
∵APC＝∠BFC，
∴∠MPD＝∠MFB，
∵M是BD的中点，
∴BM＝DM，
∵∠PMD＝∠FMB，
∴△DPM≌△BFM（AAS），
∴PD＝BF，
∴PA＝PD；
（4）解：过点D作DE⊥BD，连接BE，CE，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，如图：
∵DE⊥DB，∠ADC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵∠CDE+∠BDC＝∠BDE，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADB，
∵CD＝AD，DE＝BD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝2，∠CED＝∠ABD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠CED+∠CBD＝60°，
根据外角的性质可得∠BCE＝∠BCG+∠ECG＝∠CBD+∠BDC+∠CDE+∠CED＝∠CBD+∠BDE+∠CED＝60°+90°＝150°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CE＝，CF＝＝3，
∵∠BDE＝90°，DE＝BD＝，
∴BE＝，
∴BF＝＝＝11，
∴BC＝BF＝CF＝11﹣3＝8．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
x
…
﹣3
﹣1
x1
x2
5
…
y
…
m
0
﹣2
0
m
…
11．如图（1），点D在等边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．
（1）在图（1）中画出旋转后的图形．
（2）小明是这样做的：如图（2），过点C画BA的平行线l，△l上取CE＝BD，连接AE，则△ACE即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？
12．如图，△ABC，△ADE均为顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？