2023年广东省深圳市南山实验集团中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山实验集团中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )

A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线

3.  年深圳市万亿元，增长，增速在北上广深中排第一，将数据万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某同学对数据，，，，，，进行统计分析，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  如图，在中，为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线，通过证明和全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是(    )
 

A. 角平分线，全等依据 B. 中线，全等依据
C. 角平分线，全等依据 D. 高线，全等依据

6.  刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  义务教育课程方案发布井实施以来，某校构建德智体美劳全面培养的教育体系，开展“爱劳动，劳动美”活动甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动若甲、乙的速度比是：，结果甲比乙提前到达基地，求甲、乙的速度设甲的速度为，则依题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  二次函数的图象如图所示，其与轴交于点、点，下列个结论：
；
；
有两个不相等的实数根：
．
其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择的不是同一个主题的概率是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，已知，，点的坐标为若直线沿轴平移个单位后与仍有公共点，则的取值范围是______ ．

15.  如图，在中，，，，，关于对称的直线恰好交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点为网格线的交点．

将绕着点逆时针方向旋转度，得到，并画出旋转后的：
请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不要求写作法．

18.  本小题分
为落实国家“双减”政策，南实初中在素养课程时间里开展了篮球社团、航模社团、阿卡贝拉社团、剪纸社团活动该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：

你最喜欢社团活动问卷调查中，抽查的总人数是______ ，条形统计图中的值为______ ．
求扇形统计图中的度数；
根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“航模社团”的约有多少人？

19.  本小题分
某新型高科技商品，每件的售价比进价多元，件的进价相当于件的售价，每天可售出件，经市场调查发现，如果每件商品涨价元，每天就会少卖件．
该商品的售价和进价分别是多少元？
设每天的销售利润为元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的倍，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

20.  本小题分
如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

21.  本小题分
【定义】在平面内的三个点，，，满足若，则将点称为的三倍直角点：若，则将点称为的三倍锐角点．

如图，已知中，，，若点是的三倍直角点，则的长度为______ ；若点是点的三倍锐角点，则的长度为______ ；
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为，点的坐标为，以为圆心长为半径作，点在上．
若点是的三倍锐角点，求点的坐标；
若点是的三倍直角点，直接写出点的坐标．

22.  本小题分
如图，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

试证明，并求 ______ ．
如图，将图中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由．
如图，已知菱形∽菱形，且，菱形绕点旋转过程中，取的中点，作，求证：是直角三角形并求出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：．
直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据从小到大排列：，，，，，，，
这组数据的平均数、众数和方差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关．
故选：．
利用平均数、中位数、众数和方差的定义对各选项进行判断．
本题考查了方差、平均数、众数、中位数，掌握方差、平均数、众数、中位数的定义是关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握．
根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质对各项进行分析即可．
【解答】
解：、当是角平分线时，则利用可判定≌，从而可解，故A不符合题意；
B、当是中线时，则利用可判定≌，从而可解，故B不符合题意；
C、当是角平分线时，则利用可判定≌，从而可解，故C符合题意；
D、当是高线时，则利用可判定≌，从而可解，故D不符合题意；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
圆的内接正八边形的圆心角为，，
，
，
这个圆的内接正八边形的面积为，
故选：．
如图，过作于，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由甲、乙的速度比是：，甲的速度为，得乙的速度为，，
根据题意得．
故答案为：．
根据甲、乙速度之间的关系，可得出乙的速度为，利用时间路程速度，结合甲比乙提前到达基地，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，
点为的内心，
平分，
，
由平移得：，
，
，
，
同理可得：，
的周长，
即图中阴影部分的周长为，
故选：．
连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．
本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
由对称轴位置知，，
，
故正确；
由对称性质知关于的对称点为，
在之间，
也在、之间，
，
，
故不正确；
由函数图象可知，抛物线与直线有两个交点，
有两个不相等的实数根，
故正确；
由函数图象知，当时，，
，
，
，
故正确；
故选：．
根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，
函数的图象关于直线对称，
，，三点在同直线上，且，
，
不妨设，则，
顶点在函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，得、、在第一象限的角平分线上，求得点坐标，进而求得点坐标，便可求得结果．
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定点在第一象限的角平分线上．
 

11.【答案】 

【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：

．
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记作、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中他们选择的不是同一个主题的有种结果，
所以他们选择的不是同一个主题的概率为，
故答案为：．
将“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记作、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作于点，如图，

点的坐标为，
，，
根据勾股定理得，，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
对于，当时，，
直线与轴的交点坐标为；
设过点且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
设过点且与直线平行的直线解析式为，
代入，得：，
，
直线沿轴平移个单位后与仍有公共点，
则的取值范围是，即．
故答案为：．
根据题意画出图形，求出点的坐标，再求出过点和点且与直线平行的直线解析式，分别求出与轴的交点坐标即可解决问题．
本题主要考查的是一次函数的几何变换，求出直线与轴的交点坐标是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点分别作于点，于点，于点，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，，，
，
．
故答案为：．
先过点分别作、、的垂线段，利用“”证明∽，从而列比例式求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，即为最后的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理及角平分线的性质等知识，能够利用两角对应相等的两个三角形相似列比例式求线段长度是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，直线即为所求．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
取的中点，的中点，作直线即可．
本题考查作图旋转变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】   

【解析】解：你最喜欢社团活动问卷调查中，抽查的总人数是：；
条形统计图中的值为：．
故答案为：；；
扇形统计图中的度数为：；
人，
答：该校名学生中最喜欢“航模社团”的约有人．
用的人数除以可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的人数可得的值；
用乘组所占比例即可；
用乘样本中组所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：设每件商品的进价为元，则售价为元，
由题意可得：，
解得，
，
答：该商品的售价为元件，进价为元件；
设售价为元，
由题意可得，，
当时，随的增大而增大，
物价部门规定其销售单价不高于进价的倍，
，
即，
当时，取得最大值，此时，
答：当售价为元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据件的进价相当于件的售价，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意，可以写出与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质和物价部门规定其销售单价不高于进价的倍，可以求得的最大值．
本题考查二次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
 

20.【答案】证明：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．

解：如图，作于点，则，
，，
，，
，
，
，，，
，
，
或舍去，
的半径长为． 

【解析】连接，先根据圆周角定理证明，则，，所以，即可证明是的切线；
作于点，则，，即可根据勾股定理求出的长，然后在中根据勾股定理列方程求出的长，即为的半径长．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：点是的三倍直角点，
，，
由勾股定理得，
，
故答案为．
点是点的三倍锐角点，
且，
由勾股定理得，
，
故答案为．
当时，，
，
，，
点是的三倍锐角点，
，
设，
，
，
当时，，
，此时，与题意不符，舍去，
当时，，
，
综上，点是的三倍锐角点时，点的坐标为．
如图，延长交于，连接，

点是的三倍直角点，
，，
是的直径，
，
作于，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，．
当时，．
综上，点是的三倍直角点，点的坐标为或
由点是的三倍直角点，可得，，再由勾股定理可得；由点是点的三倍锐角点，可得且，再由勾股定理可得．
求出点的坐标，根据点是的三倍锐角点，设出点，列方程求解即可．
作辅助线，由点是的三倍直角点求出的长，作于，表示出，证明∽，利用相似三角形的性质，列方程求解即可．
本题考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用及相似三角形的性质．
 

22.【答案】 

【解析】证明：如图中，延长交的延长线于．

四边形，四边形都是正方形，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，，
，，
连接，，设，则，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
解：中的值有变化．
理由：如图中，连接，交于点，连接，，，交于，

，，
，，
，
，，共线，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，
点在直线上，
，
四边形是矩形，
，
，，
，设，则，
四边形为菱形，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
．
解：延长至点，使，连接、，再延长、交于点，如图所示，

，，，
≌，
，
，，
，
，
菱形∽菱形，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
．
，
且，
且，
是直角三角形且．
根据全等三角形的判定和勾股定理即可得到答案；
根据平行线的性质和三角函数，即可得到答案．
根据全等三角形的判定和等腰三角形的性质及三角函数即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定、勾股定理、平行线的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定、勾股定理、平行线的性质和三角函数．