陕西省咸阳市秦都区咸阳市实验中学2024年九上数学开学调研模拟试题【含答案】

这是一份陕西省咸阳市秦都区咸阳市实验中学2024年九上数学开学调研模拟试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
2、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A．B．8-2C．D．6
3、（4分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点，若，则的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4、（4分）如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边△ADE，则∠AEB等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．12.5°
5、（4分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列命题中，为假命题的是( )
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形
7、（4分）对于二次函数 y=（x-1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是 x=-1D．有最大值是 2
8、（4分）如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A．24B．16C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于_____．
10、（4分）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________．
11、（4分）如图，已知直线：与直线：相交于点，直线、分别交轴于、两点，矩形的顶点、分别在、上，顶点、都在轴上，且点与点重合，那么 __________________．
12、（4分）计算：(-2019)0×5-2=________.
13、（4分）如图，点A，B在函数的图象上，点A、B的横坐标分别为、3，则△AOB的面积是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）工艺商场以每件元购进一批工艺品．若按每件元销售，工艺商场每天可售出该工艺品件．若每件工艺品降价元，则每天可多售出工艺品件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
15、（8分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，点C为直角顶点，连接OC.
(1)直接写出= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；
(3)若点M为AB的中点，点N为OC的中点，求MN的值；
(4)如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线于点P，求点P的坐标.
16、（8分）2018年5月，某城遭遇暴雨水灾，武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇，冲锋舟和救生艇距A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数图象如图所示，假设群众上下冲锋舟和救生艇的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．
（1）冲锋舟从A地到C地的时间为 分钟，冲锋舟在静水中的速度为 千米/分，水流的速度为 千米/分．
（2）冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇，已知救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx+b，若冲锋舟在距离A地 千米处与救生艇第二次相遇，求k、b的值．
17、（10分）已知：，求得值．
18、（10分）四川汶川大地震牵动了三百多万滨州人民的心，全市广大中学生纷纷伸出了援助之手，为抗震救灾踊跃捐款。滨州市振兴中学某班的学生对本校学生自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据。下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人。
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示，已知AB＝ 6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝ 1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．
20、（4分）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，.若，则______.
21、（4分）如图，已知，，，当时，______.
22、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
23、（4分）已知一组数据3，7，7，5，x的平均数是5，那么这组数据的方差是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
25、（10分）折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若DC＝8，CF＝4，求矩形ABCD的面积S．
26、（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据矩形性质进行判断：矩形的两条对角线相等，4个角是直角等.
【详解】
根据矩形性质， ，，只有D说法不正确的.
故选D
本题考核知识点：矩形性质. 解题关键点：熟记矩形性质.
2、C
【解析】
本题设DH=x，利用勾股定理列出方程即可.
【详解】
设DH=x,
在 中，

故选C.
3、C
【解析】
连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角的性质求出∠ABE=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBE，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CE．
【详解】
如图，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
在△ABC中，∠CBE=180°-∠A-∠ABE-∠C=180°-30°-30°-90°=30°，
∴CE=BE=×4=2，
故选C．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
4、B
【解析】
根据正方形性质求出AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出∠EAD=60°，AD=AE=AB，推出∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵三角形ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，AD=AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，
∴∠AEB=×（180°-90°-60°）=15°，
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正方形性质，等边三角形的性质的应用，关键是求出∠BAE的度数，通过做此题培养了学生的推理能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．
5、C
【解析】
分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
详解：由题意，得
x=-4，y=3，
即M点的坐标是（-4，3），
故选C．
点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
6、A
【解析】
根据特殊的平行四边形的判定即可逐一判断．
【详解】
解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故选项A中的命题是假命题，故选项A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；
故选：A．
本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握特殊的平行四边形的判定定理，会判断命题的真假．
7、B
【解析】
根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴与最值进行判断即可．
【详解】
二次函数 y=（x-1）1+1 的图象的开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，1），函数有最小值 1．
故选B．
本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与最值是解决问题的关键．
8、C
【解析】
由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长为4．
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
首先求得菱形的边长，则OH是直角△AOD斜边上的中线，依据直角三角形的性质即可求解．
【详解】
AD＝×40＝1．
∵菱形ANCD中，AC⊥BD．
∴△AOD是直角三角形，
又∵H是AD的中点，
∴OH＝AD＝×1＝2．
故答案是：2．
本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10、
【解析】
如图在直角三角形中的斜边长为，因为斜边长即为半径长，且OA为半径，所以OA=，即A表示的实数是.
【详解】
由题意得，
OA=，
∵点A在原点的左边，
∴点A表示的实数是-.
故答案为-.
本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出线段OA的长是解答本题的关键.
11、2：5
【解析】
把y=0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积，再利用xD=xB=2易求D点坐标．又已知yE=yD=2可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长，即可得出矩形面积．
【详解】
解：由 x+=0，得x=-1．
∴A点坐标为（-1，0），
由-2x+16=0，得x=2．
∴B点坐标为（2，0），
∴AB=2-（-1）=3．
由 ，解得，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABC=AB•6=×3×6=4．
∵点D在l1上且xD=xB=2，
∴yD=×2+=2，
∴D点坐标为（2，2），
又∵点E在l2上且yE=yD=2，
∴-2xE+16=2，
∴xE=1，
∴E点坐标为（1，2），
∴DE=2-1=1，EF=2．
∴矩形面积为：1×2=32，
∴S矩形DEFG：S△ABC=32：4=2：5．
故答案为：2：5．
此题主要考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出C，D两点的坐标是解决问题的关键．
12、
【解析】
根据零指数幂的性质及负整数指数幂的性质即可解答.
【详解】
原式=1×.
故答案为：.
本题考查了零指数幂的性质及负整数指数幂的性质，熟练运用零指数幂的性质及负整数指数幂的性质是解决问题的关键.
13、1
【解析】
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由点A，B在函数的图象上，得到S△AOC=S△BOD=，求得A（m，），B（3m，），于是得到结论．
【详解】
解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A，B在函数的图象上，
∴S△AOC=S△BOD=，
∵点A、B的横坐标分别为m、3m，
∴A（m，），B（3m，），
∴S△AOB=S四边形ACDB=（+）×（3m-m）=1，
故答案为1．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，证得S△AOB=S四边形ACDB是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、10，4900
【解析】
设每件工艺品降价x元出售，每天获得的利润为y元，根据题意列出方程，再根据二次函数最值的性质求解即可．
【详解】
设每件工艺品降价x元出售，每天获得的利润为y元，由题意得
∴当时，y有最大值，最大值为4900
故每件工艺品降价10元出售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4900元．
本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的最值是解题的关键．
15、（1） 4；（2）OB+OA=2CE；见解析；（3）MN=；（4）P（，）．
【解析】
(1)令x=0，求出y的值，令y=0，求出x的值，即可得出OA，OB的长，根据三角形面积公式即可求出结果；
（2）过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，易证△CEB≌△CFA与四边形CEOF是正方形，从而得AF=BE，CE=BE=OF，由OB=OE-BE，AO=OF+AF可得结论；
（3）求出C点坐标，利用中点坐标公式求出点M，N的坐标，进而用两点间的距离公式求解即可得出结论；
（4）先判断出点B是AQ的中点，进而求出Q的坐标，即可求出DP的解析式，联立成方程组求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵直线y=-x+2交坐标轴于A，B两点，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4,
∴BO=2，AO=4，
∴=；
（2）作CF⊥x轴于F，作CE⊥y轴于E，如图，
∴∠BFC=∠AEC=90°
∵∠EOF=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴CF=OE，CE=OF，∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠BCF=∠ACE，
∵BC=AC，
∴△CFB≌△CEA，
∴CF=CE，AF=BE，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE=OF=CE=CF，
∴OB=OE-BE，OA=OF+AF，
∴OB+OA=OE+OF=2CE；
（3）由（2）得CE=3，
∴OE=3，
∴OF=3，
∴C（3，3）；
∵M是线段AB的中点，而A（4，0），B（0，2），
∴M（2，1），
同理：N（，），
∴MN=；
（3）如图②延长AB，DP相交于Q，
由旋转知，BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA，
∵AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
∴∠BDA+∠BDQ=90°，∠BAD+∠AQD=90°，
∴∠AQD=∠BDQ，∴BD=BQ，
∴BQ=AB，
∴点B是AQ的中点，
∵A（4，0），B（0，2），
∴Q（-4，4），
∴直线DP的解析式为y=-x①，
∵直线DO交直线y=x+5②于P点，
联立①②解得，x=-，y=，
∴P（-，）．
此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，求出点C的坐标是解本题的关键．
16、（1）24，， （2）-，1
【解析】
（1）根据题意和函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以求得k、b的值，本题得以解决．
【详解】
（1）由图象可得，
冲锋舟从A地到C地的时间为12×（20÷10）＝24（分钟），
设冲锋舟在静水中的速度为a千米/分钟，水流的速度为b千米/分钟，
，解得， ，
故答案为：24，，；
（2）冲锋舟在距离A地千米时，冲锋舟所用时间为：＝8（分钟），
∴救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx+b过点（12，10），（52，），
，
解得，，
即k、b的值分别是-，1．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．
17、2015
【解析】
先根据完全平方公式将多项式变形，再将a的值代入计算即可.
【详解】
原式=，
∵，
∴原式.
此题考查多项式的化简求值，二次根式的乘方计算，将多项式正确变形使计算更加简便.
18、（1）捐款人数共有 78人;（2）众数为 25（元）；中位数为 25（元），（3）全校共捐款34200元
【解析】
（1）各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，就是已知捐款人数的比是3：4：5：8：6，求一共调查多少人可以根据捐款25元和30元的学生一共42人．就可以求出调查的总人数；
（2）众数就是出现次数最多的数，中位数就是按大小顺序排列处于中间位置的两个数的平均数；
（3）估计全校学生捐款数，就可以先求出这些人的学生的平均捐款数，可以近似等于全校学生的平均捐款数．
【详解】
解：（1）设捐款 30 元的有 6 x 人，则 8 x +6x=42，得 x=3。则捐款人数共有 3 x+4 x+5 x+8 x+6 x=78（人）；
（2）由图象可知：众数为 25（元）；
由于本组数据的个数为 78，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是 25（元），
故中位数为 25（元）；
（3）全校共捐款（9×10＋12×15＋15×20＋24×25＋18×30）×=34200（元）.
故答案为：（1）捐款人数共有 78人；（2）众数为 25（元）；中位数为 25（元）；（3）全校共捐款34200元.
本题考查平均数、众数和中位数．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．并且本题考查了总体与样本的关系，可以用样本估计总体．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN==1，
∴点G移动路径的长是1，
故答案为：1．
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
20、
【解析】
先由，根据比例的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理求解即可.
【详解】
解：
∴
故答案为。
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键。
21、1或
【解析】
求出直线AB的解析式，设直线x=2交直线AB于点E，可得，再根据三角形面积公式列出方程求解即可.
【详解】
解：如图，
∵A（0，2），B（6，0），
∴直线AB的解析式为
设直线x=2交直线AB于点E，则可得到，
由题意：
解得m=1或
故答案为：1或
本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
23、0.26
【解析】
首先根据平均数算出x的值，然后利用方差的公式进行计算.
【详解】
解得：x=3
故方差为0.26
本题考查数据方差的计算，务必记住方差计算公式为：
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=，y=x+2；（2）-1＜x＜0或x＞1；（1）3；（3）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．
【解析】
（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；
（1）设一次函数交y轴于D，根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解；
（3）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵A（1，1）在反比例函数图象上，∴k=1，
∵B（n,－1）在y=的图象上，
∴n=-1．
∵A（1，1），B（-1，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，
∴，
解得m=1，b=2．
∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2．
（2）由图象得：当-1＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（1）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，
∵A（1，1），B（-1，-1）
∴S△DBO=×1×2=1，S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=3．
（3）OA= = ，
O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，- ）或P（0，），
A是△AOP顶角的顶点时，由图象得， P（0，6），
OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，
设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，
则AP=OP=x，PM=1，AM=1-x,
在Rt△APM中， 即
解得x= ，
∴P（0，）．
故答案为：（1）y=，y=x+2；（2）-1＜x＜0或x＞1；（1）3；（3）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和．
25、 (1)证明见解析；(2)4.
【解析】
（1）根据矩形性质和折叠性质证△ABF∽△FCE；（2）在Rt△EFC中，EF2＝CE2+CF2，求DE＝EF，根据相似三角形性质，求AD＝AF＝3，S＝AD•CD.
【详解】
(1)∵矩形ABCD中，
∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∴∠BAF+∠AFB＝90°．
由折叠性质，得∠AFE＝∠D＝90°．
∴∠AFB+∠EFC＝90°．
∴∠BAF＝∠EFC．
∴△ABF∽△FCE；
(2)由折叠性质，得AF＝AD，DE＝EF．
设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△EFC中，EF2＝CE2+CF2，
∴x2＝(8﹣x)2+1．
解得x＝2．
由(1)得△ABF∽△FCE，
∴AD＝AF＝3．
∴S＝AD•CD＝3×8＝4．
考核知识点：矩形折叠问题和相似三角形判定和性质.理解题意熟记性质是关键.
26、（1）详见解析；（2）1
【解析】
（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．
本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人