2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求出直线的斜率，进而可求解倾斜角.

【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得，

所以直线的斜率，

因为，所以，

故选:C.

2．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标公式，代入计算即可得到结果.

【详解】因为椭圆，则，

则焦点坐标为

故选:B.

3．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示，

故选:D.

4．若直线和直线平行，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得

【详解】直线和直线平行，

可得，得.

故选：A.

【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.

5．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．

【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．

故选：B．

6．若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】联立方程，等价转化为二次方程的根，列得不等式组，可得答案.

【详解】将代入，可得，

由题意，等价于存在两个大于等于零小于等于1且不相等的实数根，

则，解得，

故选：C.

7．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.

【详解】由题意，，，即，，

整理可得，，则，解得.

故选：A.

8．已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．2 D．1

【答案】C

【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合，即可求解.

【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，

圆，可得圆心，半径为，

可得圆心距，

所以，当共线时，取得最小值，

故的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．已知直线，则（    ）

A．倾斜角为 B．恒过点

C．直线的方向向量为 D．在x轴上的截距为2

【答案】BC

【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A，点的坐标代入直线方程可判断B，根据直线斜率判断C，求出直线在轴上截距判断D.

【详解】由可得，

即直线斜率，所以倾斜角为，故A错误；

点代入直线方程，成立，故B正确；

因为直线斜率，而与原点连线斜率也是，与直线平行，所以是直线的一个方向向量，故C正确；

令，可得，即在x轴上的截距为，故D错误.

故选：BC

10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．当或时，曲线是双曲线

B．当时，曲线是椭圆

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

【答案】AD

【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.

【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；

对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确.

故选：AD.

11．过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．四边形的外接圆方程为

C．直线方程为

D．三角形的面积为

【答案】BCD

【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；

利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项.

【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；

对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；

对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；

对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，

故的面积为，所以的面积为，故选项正确，

故选：.

12．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是

B．线段长度的取值范围是

C．的面积存在最大值

D．的周长存在最大值

【答案】ABC

【分析】求得半圆的方程和半椭圆的方程判断AB选项，分别求得直线与半圆和半椭圆的交点，利用面积公式判断选项C，由的周长为求解判断.

【详解】解：由题意得半圆的方程为，

设半椭圆的方程为，

又，则，

则半椭圆的方程为，

则椭圆的离心率，故正确；

直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，

则线段长度的取值范围是；

不妨设，

则由，可得；

由，可得；

则，

（当且仅当时等号成立），

故C正确；

的周长为，

则在上单调递减，

则的周长不存在最大值.故D错误

故选：ABC

三、填空题

13．已知，，则向量与的夹角为______.

【答案】##

【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

14．双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【分析】根据双曲线方程得到焦点在轴，，，即可得到渐近线方程.

【详解】双曲线，焦点在轴，，，

渐近线方程为.

故答案为：

15．若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为___________.

【答案】4

【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.

【详解】由圆可得圆心，半径为3，

直线，即，

直线过定点P，

又因为，

所以点在圆的内部，

当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，

此时，

故答案为：4.

16．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为______.

【答案】##

【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案

【详解】连接，

设则，

由双曲线的定义可得

在直角中，，即，

化简可得，

在直角中，，即，

将代入上式可得整理可得，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．的三个顶点分别是，，.

(1)求边的垂直平分线所在直线方程；

(2)求内边上中线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先得到线段的中点，再利用垂直平分线得到，接着用点斜式即可求解；

（2）利用截距式即可得到中线的方程，注意加上对应范围

【详解】（1）由，可得线段的中点为，，

因为是边的垂直平分线，所以，

则所在直线方程：即

（2）由（1）可得线段的中点为，

故边上中线方程为即，

所以内边上中线方程：

18．已知圆心为，且经过点的圆.

(1)求此圆C的方程；

(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为圆心为，

所以圆的方程设为，该圆过，

所以有，所以圆C的方程为；

（2）由（1）可知该圆的半径为

因为为等边三角形，且边长为，

所以该等边三角形的高为，

所以圆心到直线的距离为，即，

所以直线的方程为或

19．如图，四棱雉的底面是矩形，底面，，为的中点，且.

(1)求线段的长度；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，设，由，即可得到，从而得到结果；

（2）由（1）中的结论，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式，代入计算即可得到结果.

【详解】（1）

∵平面，四边形为矩形，

不妨以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，

设，则、、，、、，则，，

∵，则，解得，故；

（2）

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，直线与平面所成角正弦值为.

20．已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可；

（2）运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）设的焦距为，，

因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，

而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

所以，

所以，所以，

所以的方程为；

（2）设，，

代入椭圆方程得

两式相减可得，

即.

由点为线段的中点，

得，，

则的斜率，

所以的方程为，

即.

【点睛】关键点睛：运用点差法是解题的关键.

21．如图，直三棱柱，.

(1)证明：；

(2)设为的中点，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与证明平面.

（2）以为原点，分别为非负半轴建立直角坐标是，用空间向量法解决.

【详解】（1）直三棱柱，

平面，并且平面

，

又，且，平面

平面，

又平面，

.

（2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，所以的中点，则，，，

设平面的一个法向量，则，可取，

设平面的一个法向量，则，可取，

则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为.

22．已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)试求面积的最大值以及此时直线的方程.

【答案】(1)；

(2)最大值为，此时直线的方程.

【分析】（1）根据给定条件，求出a，b即可作答.

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、三角形面积列出函数式，借助对勾函数性质求解作答.

【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，而离心率，则，，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）显然直线不垂直于y轴，设其方程为：，设，

由消去x得：，则，

，

因此的面积，

令，有，而函数在上单调递增，

因此当，即时，取得最小值4，取得最大值，此时直线，

所以面积的最大值为，此时直线的方程.