上海市延安中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海市延安中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了11，706，841，635，; 2，有关等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，，则________．
2．已知复数（为虚数单位），表示的共轭复数，则＝________．
3．已知向量，满足：，，与的夹角为，则＝________．
4．函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是________．
5．袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是________．
6．展开式中的系数为________．（答案用数字作答）
7．已知，若，则＝________．
8．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，．则边的长度为________．
9．某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88，若从中任取两次成绩，则这两次成绩均不低于93分的概率为________．
10．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．
11．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是________．
12．已知函数，若实数满足，则的最大值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
14．已知，，．则的最大值是（ ）．
A．B．C．5D．2
15．设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
16．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ）．
A．②③④B．②④C．②③D．①②③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2个小题满分8分．
在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：
请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．
（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望．
参考公式：，其中．附表见上图．
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数
1道
2道
3道
4道
人数
20
30
30
20
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
30
女性
7
总计
100
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列和满足，（为常数且）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知椭圆的离心率为，且过点（2,0）．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
（1）求的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式可化为:,令
显然时,单调递减;时,单调递增,
所以,且时,,，
同一坐标系中,作出与(过定点的图象,
据图可知，满足题意的整数解为-3,
此时应满足,解得.
故答案为:.
12．已知函数，若实数满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】因为
则,
又因为,所以,即,
设,则直线与椭圆有交点，
联立,得,则,
解得,所以的最大值为.故答案为:.
二、选择题
13.D 14.B 15.B 16.C
15．设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①令解得：(舍去)或,
存在非零实数,使得;
②,令
结合指数函数的单调性,在定义域内单调递减,,故无其他零点,
不存在非零实数,使得;
③,令
存在,使得;
④,
,单调递增,又,故无其他零点，
不存在非零实数,使得.故答案为:B.
16．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ）．
A．②③④B．②④C．②③D．①②③④
【答案】C
【解析】对于①,若为:,,满足题意,
但是数列不是周期数列,故①错误;
对于②,由可知,
,...,
即数列的偶数项都相等,奇数项都相等,所以当时,能使得当取每一个正整数时,都有,故数列为周期数列，故②正确;
对于③,若为周期数列，则一个周期能必存在最大值,它是有界的,
故存在正整数,使得恒成立,故③正确;
对于④,首项为1,公比为2的等比数列:,,
可任取一个符合题意的数,不妨取，满足题意，
但很明显数列：不是周期数列，故④错误.故答案为：C.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）有关
（2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知椭圆的离心率为，且过点（2,0）．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
（1）求的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】(1)由已知得,,解得,则椭圆的方程为；
（2）（i）证明:依题意可设点,且,
点关于原点的对称点为,
点在上,,作差得,
直线的斜率为,直线的斜率为,
,即为定值;
（ii）设弦的中点的坐标为,
点的坐标为的重心的坐标为,,
由,得,
,且,
的重心在轴上,
则
在上的投影向量相等,,且,
则直线的方程为,
得点,
又点在上,,即
又,则直线的方程为
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1） （2）的值为0或3; （3）
【解析】（1）切线斜率为,
又,切点为,切线方程为；
（2）,
当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,
所以的极小值为,
在区间上存在一个零点，此时
在区间上存在一个零点，此时
综上,的值为0或3;
（3）函数
由得,
解得,
构造函数,
在上单调递减;
所以当时,,的最大值为.