上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)
1.已知集合，则______________
2.设复数，则______________
3.函数的最小正周期为______________
4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________
5.若实数x、y满足，则的最小值为______________
6.已知，则在方向上的投影为______________
7.方程的解集为______________
8.若函数在区间[0，a]上是严格减函数，则实数的最大值为______________
9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a，b]上是连续不断的；②在区间（a，b）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________
10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A、B在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________
11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________
12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.
13.已知，则“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A.0B.C.D.2a
15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）
A.若，函数关于直线对称
B.若，函数在上是增函数
C.若函数在上最大值为1，则
D.若，则函数的最小正周期是
16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）
A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题
三、解答题（本大题满分76分）
17.已知，且.
（1）求向量与的夹角大小；
（2）求.
18.设常数.
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）设中，内角的对边分别为若，，求的面积.
19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足为数列的前项和，求.
20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：
①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.
（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；
（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.
21.已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；
（3）若，数列满足.
求证：当时，.
2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案
一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10.[2，3] 11. 12.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.
13.A14.D15.C16.A
三、解答题（本大题满分76分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
解（1）；（2）
18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解（1）；（2）或.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
解（1）由题可知，且，即，
可得
（2）
.
20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.
解（1）
（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.
（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，
在恒成立，在恒成立，所以
由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，
等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解（1）当时，
所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分
（2）由，得：，令，则
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根
所以，解得………………………………………………………3分
所以
因为，所以，所以………………6分
（3）由题意，，所以
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分
因为，所以，
以此类推，当时，，………………………………………………4分
又，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，……………………………….7分
所以，即，故.………………………8分