上海市延安中学2024-2025学年高三上学期9月质量调研数学试卷

这是一份上海市延安中学2024-2025学年高三上学期9月质量调研数学试卷，共14页。
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则__________.
2.已知为虚数单位，，则__________.
3.已知，且为第二象限角，则__________.
4.已知向量，则在上的投影向量为__________.
5.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是__________.
6.函数的图像在点处的切线方程为__________.
7.中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为__________.
8.已知，若，则__________.
9.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.
10.在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩为，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为__________.
11.地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为__________.
12.已知圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知，则“”是“”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
15.已知，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
16.在数列中，满足（为正整数），则
①一定存在常数，使得都成立；
②一定存在常数，使得（为正整数）都成立
上面判断正确的是（ ）
A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱锥中，，.
（1）证明：平面；
（2）若是棱上一点且，求二面角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前2024项和.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了50名男观众和50名女观众，已知男观众中有40人偏向燃油车，女观众中有20人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车.
（1）根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异；
（2）现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望.
附：.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的一个焦点是.直线与直线关于直线对称，且相交于椭圆的上顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线分别与椭圆另交于两点，证明：直线过定点.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
（3）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围.
2024—2025学年上海市延安中学高三年级上学期9月质量调研
数学试卷
2024.9
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】.
2.【答案】2
【解析】.
3.【答案】
【解析】.
4.【答案】
【解析】在上的投影向量为.
5.【答案】87.5
【解析】将数据从小到大排序得，
因为，所以第75百分位数是.
6.【答案】
【解析】，
则函数的图像在点处的切线方程为，即
.
7.【答案】
【解析】将这5部书籍依次记为，
则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间，共有10个样本点，
其中抽到《周髀算经》的样本点为，共有4个样本点，
所以所求概率.
8.【答案】38
【解析】令，则，
则
9.【答案】
【解析】因为，所以，
因为是奇函数，所以，
所以，所以的周期为4，
因为，所以令，可得，所以
因为，
所以.
10.【答案】15
【解析】从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合，
即可得到四位同学的考试成绩按排列的一个可能情况，故方法有种.
从所给的5个成绩中，任意选出3个的一个组合，
即可得到四位同学的考试成绩按排列的一个可能，故方法有种.
综上可得，满足的这四位同学的考试成绩的所有可能情况共有种.
11.【答案】
【解析】设双曲线的焦距为，
由题意得，，则，解得，
由双曲线的定义得，
又，
即，
三角形的面积，
设到公路的距离为，则，得，
即到公路的距离为.
12.【答案】
【解析】设，
故可以看作点到直线
与直线距离之和的5倍，
的取值与无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
如图所示：可知直线平移时，
点与直线的距离之和均为的距离，
即此时圆在两直线内部，
当直线与圆相切时
化简得，
解得或（舍去），
.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】B
【解析】，则“”是“”的必要非充分条件，
故选B.
14.【答案】C
【解析】对于A，可相交，故错误；
对于B，两直线可异面，也可以相交，故错误；
对于C，正确；
对于D，两平面可相交，故错误；
故选C.
15.【答案】B
【解析】由于函数，存在常数，
为偶函数，
则：，
由于函数为偶函数，
故：，
所以：，
当时.
故选：B.
16.【答案】B
【解析】数列满足：，
①不妨设，则，若存在常数，使得，
应有，显然成立，故①正确
②取，显然满足，
但对，②为假命题；
故选B.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，则，所以，
因为平面，
所以平面.
（2）易知为的中点，所以，
由（1）可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，所以为正三角形，
所以，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，
即二面角的大小为.
18.【答案】（1）；（2）1012
【解析】（1）数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，
可得，即，即有，
解得，
则.
（2），
可得，
数列的前2024项和为.
19.【答案】（1）有差异；（2）见解析
【解析】（1）由题意可得列联表：
零假设：男观众和女观众买车意向的偏向情况没有差异，
则
根据小概率值的独立性检验可知，零假设不成立，
所以可以认为男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异.
（2）因为抽取的9人中有名男观众，名女观众，
所以的可能取值为，
则，
，
所以的分布列为：
则.
20.【答案】（1）（2）；（3）直线过定点
【解析】（1）不妨设椭圆的标准方程为，
因为直线与轴相交于点，
所以椭圆的上顶点为，
即，
因为椭圆的一个焦点是，
所以，
则
故椭圆的标准方程为.
（2）不妨设点是直线上任意异于的一点，
点是点关于直线的对称点，
此时，
解得，
因为，
所以，
解得，
代入直线中，
解得，
因为点在直线上，
所以，
即
所以，
因为，
所以.
（3）证明：不妨设，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
同理得，
由（2）知，
所以，
此时直线的方程为，
整理得，
则对任意的，总经过点.
故直线过定点.
21.【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】（1）当时，，满足为偶函数；
当时，，且为非奇非偶函数.
（2）函数在处有极值，
可得，解得，
所以
当时，递减；当或时，递增，
可得在处取得极小值，且为在处取得极大值，且为，
的方程有3个不同的实根，等价为，
即有的取值范围是.
（3）在递减，可得时，，
，即为，
即
即为对
任意且时恒成立.
所以在递减；在递增.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，则.
当在恒成立时，可得，即在
恒成立，则.
综上可得的取值范围是.偏向燃油车
偏向新能源车
男观众
女观众
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
偏向燃油车
偏向新能源车
总计
男观众
40
10
50
女观众
20
30
50
总计
60
40
100
0
1
2
3