上海市上海中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海市上海中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了11，若集合,则 ，已知全集,集合，已知函数等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若集合,则 .
2.已知全集,集合.若,则实数的取值范围是 .
3.已知幂函数的图像过点,则的定义域为 .
4.若函数是偶函数,则 .
5.已知,则的最小值为 .
6.已知函数:则不等式的解集为 .
7.设都是正实数,则""是""的 条件.
8.已知函数在上是减函数,则实数的取值范围是 .
9.已知当时,不等式恒成立,则的取值范围为 .
10.已知函数,当时，,若在区间内有两个不同的零点,则实数的取值范围是 .
11.设均为实数,关于的方程在区间上有解,则的取值范围是 .
12.设,记,则它的最大值和最小值的差为 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）
13.若,则下列不等式恒成立的是（ ）.
A. B. C. D.
14.已知函数是上的严格增函数,则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
15.若是方程的两相异实根,则有（ ）.
A. B. C. D.
16.已知定义在上的函数的导数满足,给出两个命题:
（1）对任意,都有;
（2）若的值域为,则对任意都有.则下列判断正确的是（ ）.
A.(1)(2)都是假命题 B.(1)(2)都是真命题
C.(1)是假命题,(2)是真命题 D.(1)是真命题，(2)是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.(本题满分14分)已知三个集合:,
.
（1）求;
（2）已知,求实数的取值范围.
18.(本题满分14分)记函数的定义域为
的定义域为.
（1）求集合;
（2）若,求的取值范围.
19.（本题满分14分）某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中.已知投资额为零时,收益为零.
（1）试求出的值;
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1万元）
20.(本题满分18分)已知函数.
（1）若,求的最大值;
（2）若，求关于的不等式的解集；
（3）记，对于给定的实数，若存在满足，求的取值范围.
21.（本题满分18分）若定义在上的函数和分别存在导函数和.且对任意均有，则称函数是函数的"导控函数".我们将满足方程的称为"导控点"
（1）试问函数是否为函数的"导控函数"?
（2）若函数是函数的"导控函数"，且函数是函数的"导控函数",求出所有的"导控点";
（3）若，函数为偶函数，函数是函数的"导控函数"，求证："的充要条件是"存在常数使得恒成立。".
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.充分不必要; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.设均为实数,关于的方程在区间上有解,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】在区间上有零点,在区间上有解,
在区间上有解,令,
或,即或,
①当时,画出关于的约束条件,如图所示
则表示到可行域内点的距离,当
此时为最小值,即,
②当时,画出关于的约束条件,如图所示,
此时,综上所述,故答案为:.
12.设,记,则它的最大值和最小值的差为 .【答案】
【解析】解因为
当或时等号成立,所以的最大值为1.
令,则下证
所以,从而,
当时等号成立,所以的最小值为.
二、选择题
13.D 14. 15. D 16.B
15.若是方程的两相异实根,则有（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若取,则方程为,解得都错；
由题意可知,,则,由韦达定理可得,
所以与的大小关系不确定，C错；
所以对.故选：D.
16.已知定义在上的函数的导数满足,给出两个命题:
（1）对任意,都有;
（2）若的值域为,则对任意都有.则下列判断正确的是（ ）.
A.(1)(2)都是假命题 B.(1)(2)都是真命题
C.(1)是假命题,(2)是真命题 D.(1)是真命题，(2)是假命题
【答案】B
【解析】对于(1),设,在上递增,
设,
递减,递增,
,故(1)是真命题;
对于(2),由(1)得,
单调递增,
,当时,,
任取，由(1)得:
对任意的,都有,故(2)是真命题.故选：B.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）A投3万元，B投2万元可获得12.6万元的最大收益
20.(本题满分18分)已知函数.
（1）若,求的最大值;
（2）若，求关于的不等式的解集；
（3）记，对于给定的实数，若存在满足，求的取值范围.
【答案】（1） （2）若,解集为;若,解集为;
若,解集为. （3）
【解析】（1）因为,可知的定义域为,此时,
若,则,,可得,
令,则,当且仅当时,等号成立,所以的最大值为.
（2）若,则,对于,即,
令,则,
若,则,可得,解得,可得；
若,则,可得,解得,可得且;
若,则,可得,解得或,可得或;
综上所述:若,解集为;若,解集为;
若,解集为.
（3）因为
由题意可知:的最小值,
令,则,
取,则,即,解得;
若,则,可得
因为在内单调递增,在内单调递
可知的最小值为或,且,符合题意;
若,则,可得,
可知的最小值为0,符合题意;
若,则,可得
因为在内单调递增,在内单调递减,
可知的最小值为或,且,符合题意；
综上所述:的取值范围为.
21.（本题满分18分）若定义在上的函数和分别存在导函数和.且对任意均有，则称函数是函数的"导控函数".我们将满足方程的称为"导控点"
（1）试问函数是否为函数的"导控函数"?
（2）若函数是函数的"导控函数"，且函数是函数的"导控函数",求出所有的"导控点";
（3）若，函数为偶函数，函数是函数的"导控函数"，求证："的充要条件是"存在常数使得恒成立。".
【答案】（1）是 （2）2 （3）见解析
【解析】（1）因为,所以函数是函数的"导控函数"；
（2）由题意可知:恒成立,
令,则,所以,所以,即.
又因为恒成立,所以,所以.
故"导控点"为2;
（3）充分性：若存在常数使得恒成立，所以为偶函数,
所以,即所以；
必要性:若,则,所以是偶函数.
又因为函数是函数的"导控函数"，所以,
又因为,所以函数是函数的"导控函数",
所以,即,所以
综上可知:.记,则.
所以存在常数使得恒成立.