四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

这是一份四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，已知为单位圆的内接正三角形，则，已知角的终边上一点，则，巴黎奥运会期间，旅客人数，关于的方程在上有个实数根．，已知为函数的一个零点，则，【参考答案】B等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A.B.C.1D.
3.已知角的终边上一点，则（ ）
A.B.C.D.
4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
5．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
6.关于的方程在上有（ ）个实数根．
A.1B.2C.3D.4
7.已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足
，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称
B.在上单调递增
C.是奇函数
D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
10.已知为函数的一个零点，则（ ）
A.的图象关于对称B.的解集为
C.时，D.时，，则的最大值为4
11.已知函数与及其导函数f'x与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）
A.B.
C.曲线关于点中心对称D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12.若复数满足，则__________.
13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．
14.已知数列an满足，，其中为函数的极值点，则______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望
附：，其中.
16．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．
(1)若平面，，证明：
(2)若底面，，，二面角的余弦值为，求的长．
17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.
(1)求
(2)若,求的周长;
(3)如图，点是外一点，设
且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.
18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为4，求；
(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
19．（本小题17分）已知函数，.
(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，若，且，求证：；
(3)求证：对任意，都有.
成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试
数学参考答案
双向细目表
答案及解析
1.【参考答案】C
【解题思路】由题意可知，，，所以.故选C.
2.【参考答案】B
【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，.易得,的夹角为，所以.故选B.
3.【参考答案】C
【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.
4.【参考答案】A
【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.
5.【参考答案】B
【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.
6.【参考答案】C
【解题思路】当时，，原方程化为.令，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.
7.【参考答案】D
【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.
8.【参考答案】A
【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等号成立.故选A.
9.【参考答案】ACD
【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B错误；为奇函数，故C正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D正确.故选ACD.
10.【参考答案】AD
【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A正确；当时，且，故B错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D正确.故选AD.
11.【参考答案】ACD
【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求不出，故B错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D正确.故选ACD.
12.【参考答案】
【解题思路】由题意知，，所以.
13.【参考答案】
【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.
14.【参考答案】
【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.
15.解：（1）列联表如下：
零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，
……5分
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分
（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分
则，，，，……11分
故的分布列如下：
.……13分
16.（1）证明：因为，，，即，
所以，即.
因为平面，平面，面面，所以，……3分
所以.因为，，
所以平面，所以.……6分
（2）解：因为底面，，底面，
所以，.
又，
所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则
，，，，，，，.
设平面的法向量为，
所以即
令，则，，所以.……9分
设平面的法向量为，
所以即
令，则，，所以.……11分
因为二面角的余弦值为，二面角为锐角，
所以，解得，所以.……15分
17.解：（1）由正弦定理可知，，
所以，
所以，即.
由余弦定理，所以.……4分
（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.
又由（1）知，所以，即，所以，
所以的周长为.……7分
（3）由正弦定理可得，，即，
，即.
因为四边形的内角和为，且，所以，
所以.……11分
（可以有多种表达形式，化简正确都得分）
，记，
令，
则.
因为在中，所以，所以，
所以当时，恒成立.
当，即时，；当，即时，，
则，所以.……15分
18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分
（2）设直线的方程为，，.
联立得，所以，，则.
将代入直线，得，则的中点.
因为，所以，则直线的方程为，即.
同理可得，直线的方程为，所以，
，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以.……10分
（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.
因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.
又因为为的中点，所以.
因为直线的方程为，
所以.
又到直线的距离，所以.
，当且仅当时取“”，
所以，
所以四边形的面积的最小值为3.……17分
19.（1）解：当时，恒成立，
即恒成立，只需即可.
令，，则.
令，，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的最大值为2.……5分
（2）证明：因为当时，，，
所以，即在上单调递增.
又，，且，所以不妨设.
要证，即证明.
因为在上单调递增，即证.
因为，即证.
设
，，
令，，则，.
因为，所以，即在（0，1）上单调递增，
所以，即，
所以成立，所以.……11分
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.
由，得，即.
令，则，即，
所以，，，，，
相加得.……17分
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
题型
分值
难度预估
内容
具体内容
1
单项选择题
5
0.95
集合
集合运算
2
单项选择题
5
0.9
向量
数量积
3
单项选择题
5
0.8
三角函数
诱导公式、倍角公式
4
单项选择题
5
0.75
正态分布
正态分布
5
单项选择题
5
0.7
向量
投影向量
6
单项选择题
5
0.7
三角函数
三角函数图象分析
7
单项选择题
5
0.5
函数性质
函数奇偶性及单调性分析
8
单项选择题
5
0.4
不等式
不等式
9
多项选择题
6
0.8
三角函数
正弦函数图象特点分析
10
多项选择题
6
0.5
函数
三次函数图象分析
11
多项选择题
6
0.3
函数性质
函数奇偶性、对称、周期性分析
12
填空题
5
0.8
复数
复数计算
13
填空题
5
0.5
概率
概率计算
14
填空题
5
0.3
函数
数列及函数零点
15（1）
解答题
6
0.8
概率统计
检验
15（2）
解答题
7
0.7
分布列
16（1）
解答题
3
0.8
立体几何
线线垂直证明
16（2）
解答题
4
0.7
二面角
17（1）
解答题
4
0.7
解斜三角形
正余弦定理应用
17（2）
解答题
5
0.6
解斜三角形求周长
17（3）
解答题
6
0.4
解斜三角形求面积
18（1）
解答题
5
0.6
解析几何
抛物线方程
18（2）
解答题
6
0.6
切线问题
18（3）
解答题
6
0.4
四边形面积
19（1）
解答题
5
0.7
导数
函数恒成立问题
19（2）
解答题
6
0.5
利用函数单调性证明自变量大小
19（3）
解答题
6
0.3
数列不等式证明
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30
0
1
2
3