精品解析：四川省成都市石室中学高高三上学期学期1月模拟检测理科数学试题

石室中学高高三1月模拟检测试题

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，，且，则实数a取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

3. 方程表示焦点在x轴上的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.  

4. 已知，，（为自然对数的底数），则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若是第三象限角，则下列各式中成立是（    ）

A  B.

C.  D.

6. 已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 5G技术数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约增加了（    ）

A. 10% B. 30% C. 50% D. 100%

9. 蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点，且球心在上，，则该鞠（球）的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知函数，若存在实数，，，（）满足，则（     ）

A.  B.

C  D.

12. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．

14. 艾萨克·牛顿（1642—1727）被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显地推进了当时数学的每一个分支”．牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现——广义二项式展开．即，其中广义二项式系数，，，k为正整数．根据以上信息，若对任意，都有，则______．

15. 在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，直线与动点的轨迹交于、两点，记动点轨迹的对称中心为点，则面积的最大值为______．

16. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，

①的角平分线交于M，求线段的长；

②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．

18. 为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：

游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．

游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．

游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．

19. 已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．

（1）求证：平面MBCN；

（2）在线段BC上是否存在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．

20. 在平面直角坐标系xOy中，点，，，且点在第一象限．记的外接圆为圆．

（1）求圆的方程；

（2）过点且不与y轴重合的直线l与圆E交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．

21. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点且；

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设l1：，l2：，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．

[选修4—5：不等式选讲]

23. 选修4—5:不等式选讲

已知函数

(1)若不等式的解集为,求实数的值;

(2)当时,解关于的不等式.