上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了11，记等差数列的前项和分别为等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分，共36分）
1.空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________________.
2.空间中四个点最多能确定___________个平面.
3.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是___________.
4.若一个球的半径为3，则其体积为___________.
5.若空间向量共面，则实数___________.
6.将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________.
7.若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为___________.
8.已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是___________.
9.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________.
10.记等差数列的前项和分别为. 若，则___________.
11.已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是___________.
12、空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则___________.
二、选择题（每题4分，共16分）
13.二面角的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
14.满足条件的等差数列共有（ ）个
A.2 B.3 C.4 D.5
15.给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（ ）.
A.都是真命题 B.是真命题，是假命题
C.是假命题，是真命题 D.都是假命题
16.在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
三.解答题（17~18每题8分，19~20每题10分，21题12分）
17.在等差数列中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值.
18.在平行六面体中，，，是的中点.
（1）求的长；
（2）求.
在矩形中，.
（1）将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积；
（2）将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积.
20. 四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，是的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求异面直线和之间的距离.
21.在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：
（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；
（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；
（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、填空题
1.平行； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7. ；
8. ； 9.； 10. ； 11. 12.
二、选择题
13.D 14.D 15. C 16.C
15.给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（ ）.
A.都是真命题 B.是真命题，是假命题
C.是假命题，是真命题 D.都是假命题
【答案】C
【解析】对于命题：下左图即为反例，故命题为假命题；

对于命题：如右上图所示，在该棱锥中，底面.
在底面中，，，…….
根据三垂线定理，即可使得所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题.
16.在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，再设平面还通过棱上一点，
可得，易得平面的一个法向量为.
又，设直线与平面所成角为，
则.
令，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，∴，选C.
三．解答题
17. 【答案】（1）；（2）.
18. 【答案】（1）；（2）.
19. 【答案】（1）；（2）.
20. 四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，是的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求异面直线和之间的距离.

【答案】（1）；（2）.
【解析】（2）取中点，连接，作，垂足为，易得平面.根据底面是平行四边形，所以，故平面，所以线段的长度即为直线与平面间的距离，也即异面直线和之间的距离.
在中，，所以异面直线和之间的距离为.
（1）再过点作，连接，根据三垂线定理可知，所以为二面角的平面角.
在中，；在中，，所以，所以二面角的余弦值为.
21．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：
（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；
（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；
（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）周长为，面积为；（2）；（3）存在
【解析】（1）此时，截面是边长为的正六边形，∴周长为，面积为；
（2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示：

经计算可得左图中，，右图中，.故当截面为六边形时，；