高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册第6章 计数原理6.5 二项式定理优质ppt课件

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学习目标1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
其中m，n∈N* 且 m≤n，规定
同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1.
６．５ 二项式定理 １ 杨辉三角和二项式定理
我们知道，对于任意的 ，都有
我们把等式右边的代数式称为 的二项展开式，其 中 k ＝２，３，４，５．一般地，对于任意正整数狀， 的二项展开式有什么规律呢？
在 n 的取值不大的情况下，也可以利用下面的数阵求的二项展开式中各项的系数：
这个数阵的特点是：①每一行的第一个数和最后一个数都是１．②每一行中，除了第一个数和最后一个数外，每个数等于它“肩上”的两个数之和．③当 你为偶数时，最大的系数是中间一项；当 n 为奇数时，最大的系数是中间两项
在我国数学家杨辉于１２６１年所著的《详解九章算法》中出现了类似的图表（类似于图６-５-１），习惯上称之为杨辉三角，杨辉在该图旁注明 “贾宪用此术”，故亦称贾宪三角．它是中国古代数学的杰出研究成果之一．
证明 当 时，
假设 为正整数）时，
则当 n ＝ k ＋１时，根据多项式的乘法运算规则，有
从而由性质 得 　　
所以，由数学归纳法，对于 和正整数 n，都有
例１ 求 的二项展开式．
解 由二项式定理， 的二项展开式是
例２ 求 的二项展开式中 项的系数． 解 由二项式定理， 的二项展开式中的第 r＋１项为 ，其中 ．令 ，得 项的系数是
例３ 利用 的二项展开式，证明： 是７的倍数
证明 由二项式定理，我们有
显然，等号右边的每一项都是７的倍数，所以 是７的倍数．于是， 也一定是７的倍数．
解：根据二项式定理，可得
解：(1) 由通项公式，可得
(2) 由通项公式，可得
其中0≤k≤10 且 k∈N.