江苏省苏州市振华中学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

这是一份江苏省苏州市振华中学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷，共35页。
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）
2．（3分）某校七年级有5名同学参加射击比赛，成绩分为7，8，9，10，8（单位：环）．则这5名同学成绩的众数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2+3
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
6．（3分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．56°C．34°D．54°
7．（3分）二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③a+c＞﹣b；④5a﹣2b+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分，请将填空题的答案用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应的位置上。
9．（3分）已知一组数据6，5，3，3，5，1，则这组数据的中位数是 ．
10．（3分）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝ ．
11．（3分）甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的酸奶，从甲、乙灌装的酸奶中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6，那么 （填“甲”或“乙”）机器灌装的酸奶质量较稳定．
12．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为 ．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为 m．
14．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m n．（填“＞”“＝”或“＜”）
15．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，0），（6，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式．
18．（5分）为调查苏州某区市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了该区部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果该区有24000名市民，请估计下大约有多少名市民骑自行车上班．
19．（6分）十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看．
（1）小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）．
21．（6分）如图，在⊙O中，MN为直径，AB为弦，且MN⊥AB，垂足为C．
（1）若OA＝5cm，AB＝8cm，求BM的长度；
（2）若∠AOM＝3∠BMN，则∠ABM＝ °．
22．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值．
23．（8分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当x＝﹣3时，新函数值为 ，当x＝1时，新函数值为 ；
（2）当x＝ 时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ；
（4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，垂足为E，AB＝DB，F为DC延长线上一点．
（1）求证：BC平分∠ACF；
（2）若BE＝3，DE＝2，求AE和⊙O的半径长．
25．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
26．（10分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径AB＝10，的“幸运角”为90°．
①如图3，连结CD，求弦CD的长；
②当时，求CE的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设：△PCE的面积为S1，△OCP的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；
（3）设：点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，
①直接写出所有满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，点Q是线段BH外一点，QH＝1，连接AQ，将线段AQ绕着点Q逆时针旋转90°得到线段QM，连接MH，直接写出线段MH的取值范围．
2024-2025学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本题共8小题，每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，
1．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】解：y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．（3分）某校七年级有5名同学参加射击比赛，成绩分为7，8，9，10，8（单位：环）．则这5名同学成绩的众数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可．
【解答】解：数据8出现2次，次数最多，所以众数是8．
故选：B．
【点评】考查众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
3．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2+3
【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，1），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式．
【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
【分析】对二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，
在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（），点（﹣2，y1）离对称轴的距离最远，点（）离对称轴的距离最近，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝20°，
∴∠BDC＝∠BAC＝20°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
6．（3分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．62°B．56°C．34°D．54°
【分析】先根据∠AOD＝68°，AO∥DC得出∠ODC＝∠AOD＝68°，再由OA＝OD得出∠ADO的度数，进而得出∠ADC的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOD＝68°，AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∴OA＝OD，
∴∠ADO＝＝＝56°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝56°+68°＝124°，
∵四边形ADCB是圆内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣124°＝56°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．（3分）二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，顶点为（3，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故A正确；
B、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故B错误；
C、二次函数y＝a（x﹣3）2+c的对称轴直线x＝3，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣3）2+c的顶点（3，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③a+c＞﹣b；④5a﹣2b+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
∵该函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
则a﹣（﹣2a）+c＞0，
即3a+c＞0，故②正确，符合题意；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，故③错误，不符合题意；
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，a＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分，请将填空题的答案用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应的位置上。
9．（3分）已知一组数据6，5，3，3，5，1，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，3，5，5，6，
则中位数为：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．（3分）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝ 2 ．
【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，
∴m2﹣m＝2，
（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．
11．（3分）甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的酸奶，从甲、乙灌装的酸奶中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6，那么 乙 （填“甲”或“乙”）机器灌装的酸奶质量较稳定．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝4.8，S乙2＝3.6，
∴S甲2＞S乙2，
∴机器灌装的酸奶质量较稳定是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为 2 ．
【分析】连接BE，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC中，关键勾股定理求出OA的长，进而求出直径AE，再根据勾股定理求出BE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：连接BE，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，
∴OA＝＝5，
∴AE＝10，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为 6 m．
【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点为原点设出抛物线解析式，易得点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线解析式可得a的值，进而可得抛物线的解析式，取y＝﹣4.5．求得x的两个值，取较大的x的值减去较小的x的值即为水面下降2.5m后水面的宽度．
【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由题意得：抛物线上点A的坐标为（2，﹣2），
∴﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2，
当水面下降2.5米时，y＝﹣4.5，
∴﹣4.5＝﹣x2，
解得：x1＝3，x2＝﹣3，
水面宽度为：3﹣（﹣3）＝3+3＝6（m），
故答案为：6．
【点评】本题考查二次函数的应用．建立合适的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式是解决本题的关键；易错点是得到水面下降2.5m后所在抛物线的点的纵坐标．
14．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m，n的大小关系为m ＞ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当﹣1＜x＜0时，0＜y＜2，
∴当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1≤x＜3时，y随x的增大而减小，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
15．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 8 ．
【分析】设P（x，﹣x2+x+3），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设P（x，﹣x2+x+3），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为 ．
【分析】以AB为直径作⊙O，连接AC交⊙O，连接OC，OP，先证明△ABM和△BCN全等得∠BAM＝∠CBN，由此可得∠APB＝90°，则点P在上运动，再根据PC≥OC﹣OP得当点O，P，C在同一条直线上时，PC为最小，最小值是为OC﹣OP，然后再分别求出OP＝7，OC＝，进而即可得出PC的最小值．
【解答】解：以AB为直径作⊙O，连接AC交⊙O，连接OC，OP，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°，
∵点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABN+∠CBN＝∠ABM＝90°，
∴∠ABN+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在上运动，
∵PC≥OC﹣OP，
∴当点O，P，C在同一条直线上时，PC为最小，最小值是为OC﹣OP，
∵AB＝14，
∴OP＝OA＝OB＝7，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC＝＝，
∴OC﹣OP＝，
∴PC的最小值是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点P在弧BG上运动是解决问题的难点．
三、解答题：本题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，0），（6，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，所以抛物线的顶点的坐标为（3，3），则可设顶点式y＝a（x﹣3）2+3，然后把（0，0）代入求出a的值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，0），（6，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵抛物线的顶点的纵坐标是3，
∴抛物线的顶点的坐标为（3，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，0）代入得0＝a（x﹣3）2+3，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．
18．（5分）为调查苏州某区市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了该区部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 2000 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 108 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果该区有24000名市民，请估计下大约有多少名市民骑自行车上班．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数和扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果可以求得C类的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该区上班坐公交车的人数约有多少人．
【解答】解：（1）本次调查的市民有：800÷40%＝2000（人），
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是：×360°＝108°，
故答案为：2000，108；
（2）选择C的市民有：2000﹣100﹣800﹣200﹣300＝600（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）24000×＝1200（人），
答：该区上班坐公交车的人数约有1200人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
19．（6分）十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看．
（1）小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中他选中《志愿军》的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中他选中《志愿军》的结果有1种，
∴选中《志愿军》的概率为．
故答案为：．
（2）将《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影分别记为A，B，C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的结果有3种，
∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）这个圆的半径为 2 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）．
【分析】（1），利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出MA即可；
（3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系．
【解答】解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；
（2）∵A（0，4），M（2，0），
∴MA＝＝2，
即⊙M的半径为2；
（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），
∴DM＝＝，
∵＜2，
∴点D在⊙M内．
故答案为（2，0）；2；内．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
21．（6分）如图，在⊙O中，MN为直径，AB为弦，且MN⊥AB，垂足为C．
（1）若OA＝5cm，AB＝8cm，求BM的长度；
（2）若∠AOM＝3∠BMN，则∠ABM＝ 54 °．
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理可以得到AC、BC和OC的长，然后再根据勾股定理即可求得BM的长度；
（2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得∠ABM的度数．
【解答】解：（1）∵MN⊥AB，OA＝5cm，AB＝8cm，
∴AC＝BC＝4cm，∠OCA＝∠OCB＝90°，OM＝5cm，
∴OC＝＝＝3（cm），
∴MC＝OM+OC＝5+3＝8（cm），
∴BM＝＝＝4（cm），
即BM的长度为4cm；
（2）连接OB，如图，
∵MN⊥AB，
∴，
∴∠AON＝∠BON，
∵∠BON＝2∠BMN，∠AOM＝3∠BMN，
∴∠AON＝2∠BMN，
设∠BMN＝x，则∠AON＝2x，∠AOM＝3x，
∵∠AON+∠AOM＝180°，
∴2x+3x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠BMN＝36°，
∵∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝90°﹣∠BMN＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值．
【分析】（1）由题意得一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0，判断判根公式Δ与0的大小即可；
（2）由题意知，解得符合要求的m的值．
【解答】（1）证明：由可得一元二次方程，x2﹣4mx+3m2＝0，
∴该二次方程的Δ＝（﹣4m）2﹣4×3m2＝4m2，
∵m≠0，
∴Δ＝4m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：由题意知，
∴，
解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴m的值为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键在于对知识的灵活运用．
23．（8分）如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当x＝﹣3时，新函数值为 5 ，当x＝1时，新函数值为 3 ；
（2）当x＝ ﹣2或2 时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ﹣2＜x＜0或x＞2 ；
（4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 0＜a＜4 ．
【分析】（1）把x＝﹣3和x＝1分别代入y＝x2﹣4求得函数值，根据图象即可求得结论；
（2）根据图象即可求得；
（3）观察图象即可求得；
（4）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝x2﹣4得y＝9﹣4＝5；
把x＝1代入y＝x2﹣4＝﹣3，
∴当x＝﹣3时，新函数值为5，当x＝1时，新函数值为3，
故答案为：5，3；
（2）观察图象，当x＝﹣2或2时，新函数有最小值为0，
故答案为：﹣2或2；
（3）观察图象，当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是﹣2＜x＜0或x＞2；
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2；
（4）直线y＝a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围0＜a＜4，
故答案为：0＜a＜4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，垂足为E，AB＝DB，F为DC延长线上一点．
（1）求证：BC平分∠ACF；
（2）若BE＝3，DE＝2，求AE和⊙O的半径长．
【分析】（1）先根据AB＝DB得出∠ADB＝∠BAD，再由圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB，由圆内接四边形的性质可得出∠BCF＝∠BAD，故∠ACB＝∠BCF，据此得出结论；
（2）根据BE＝3，DE＝2可得出BD的长，故可得出AB的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，同理可得出AD的长，连接BO并延长交⊙O于点M，交线段AD于点N，连接OD，由垂径定理得出BM⊥AD，故点N是AD的中点，利用勾股定理求出BN的长，设⊙O的半径为r，在Rt△ODN中利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝DB，
∴∠ADB＝∠BAD，
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠BAD，
∴∠ACB＝∠BCF，
∴BC平分∠ACF；
（2）解：∵BE＝3，DE＝2，
∴BD＝3+2＝5，
∵AB＝DB，
∴AB＝5，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，
连接BO并延长交⊙O于点M，交线段AD于点N，连接OD，
∵BM是⊙O的直径，
∴BM平分圆，
∵AB＝DB，
∴＝，
∴＝，
∴点N是AD的中点，
∴BM⊥AD，DN＝AD＝，
在Rt△BDN中，BN＝＝＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝r，ON＝OB﹣r＝2﹣r，
在Rt△ODN中，DN2+ON2＝OD2，即（）2+（2﹣r）2＝r2，
解得r＝．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
25．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），
＝﹣20x2+3600x﹣130000，
w＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，
答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
26．（10分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径AB＝10，的“幸运角”为90°．
①如图3，连结CD，求弦CD的长；
②当时，求CE的长．
【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明∠CPA＝∠DPB即可；
（2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可得出结论；
（3）①连接OC，OD，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设PC＝PE＝x，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∠CPD是的“幸运角”，理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“幸运角”；
（2）∵的度数为n，
∴∠CED＝，
∵CE⊥AB，
∴∠APE＝90°﹣∠CED＝90°﹣．
∴∠BPD＝∠APE＝90°﹣，
∴∠APC＝∠BPD＝90°﹣．
∴的“幸运角”度数＝∠CPD＝180°﹣∠APC﹣∠BPD＝n．
∴的“幸运角”度数为n；
（3）①连接OC，OD，如图，
∵的“幸运角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝＝45°．
∴∠APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
②∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，则PD＝DE﹣PE＝7﹣x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设：△PCE的面积为S1，△OCP的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；
（3）设：点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，
①直接写出所有满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，点Q是线段BH外一点，QH＝1，连接AQ，将线段AQ绕着点Q逆时针旋转90°得到线段QM，连接MH，直接写出线段MH的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，0），点B（﹣3，0）代入 y＝ax2﹣2x+c，即可求解；
（2）过点P作PK⊥x轴交于点K，交BC于点L，求出直线BC的解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则L（t，t+3），由PL∥CO和＝，可得＝，则LP＝2，求出t的值即可求解；
（3）①求出直线BN的解析式为y＝3x+9，当CH∥BN时，∠HCB＝∠NBC，可求直线CH的解析式为y＝3x+3，则H（﹣1，0）；作线段BC的垂直平分线交NB于点F，求出BC的中点T（﹣，），可求直线FT的解析式为y＝﹣x，联立方程组，求出F（﹣，），在求出直线FC的直线解析式为y＝x+3，可求H（﹣9，0）；
②由题意可知Q点在以H为圆心，1为半径的圆上，设Q（m，n），过点Q作TS∥y轴交x轴于点S，过点M作MT⊥TS交于T点，可得△AQS≌△QMT（AAS），则M（m+n，1+n﹣m），所以1＝（m+1）2+n2，设对称轴x＝﹣1与直线BC的交点为G，则G（﹣1，2），可求GM＝，从而确定M点在以G为圆心，为半径的圆上，当M、G、H三点共线时，MH有最值，求得MH的最大值为2+，MH的最小值为2﹣，故可得MH的范围是2﹣≤MH≤2+．
【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（﹣3，0）代入 y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK⊥x轴交于点K，交BC于点L，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则L（t，t+3），
∵PL∥CO，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵CO＝3，
∴LP＝2，
∴﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝2，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∵点P在第二象限的抛物线上，
∴P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）①∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，
∴N（﹣2，3），
设直线BN的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝3x+9，
如图2，当CH∥BN时，∠HCB＝∠NBC，
∴直线CH的解析式为y＝3x+3，
∴H（﹣1，0）；
如图3，作线段BC的垂直平分线交NB于点F，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC的中点T（﹣，），
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴直线FT经过点O，
∴直线FT的解析式为y＝﹣x，
联立方程组，
解得x＝﹣，
∴F（﹣，），
设直线FC的直线解析式为y＝k''x+b''，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
∴H（﹣9，0）；
综上所述，H点的坐标为（﹣1，0）或（﹣9，0）；
②∵点H在线段AB上，
∴H（﹣1，0），
∵QH＝1，
∴Q点在以H为圆心，1为半径的圆上，
设Q（m，n），
如图4，过点Q作TS∥y轴交x轴于点S，过点M作MT⊥TS交于T点，
∵∠AQM＝90°，
∴∠SQA+∠TQM＝90°，
∵∠SQA+∠SAQ＝90°，
∴∠SAQ＝∠TQM，
∵QA＝QM，
∴△AQS≌△QMT（AAS），
∴QS＝TM，TQ＝AS，
∴M（m+n，1+n﹣m），
∵QH＝1，
∴1＝（m+1）2+n2，
设对称轴x＝﹣1与直线BC的交点为G，则G（﹣1，2），
∴GM2＝（m+n+1）2+（1+n﹣m﹣2）2＝2[（m+1）2+n2]＝2，
∴GM＝，
∴M点在以G为圆心，为半径的圆上，
当M、G、H三点共线时，MH有最值，
∵GH＝2，
∴MH的最大值为2+，MH的最小值为2﹣，
∴2﹣≤MH≤2+，
∴MH的范围是2﹣≤MH≤2+．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，圆的性质是解题的关键．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200