江苏省苏州市苏州中学校2024-2025学年九年级上学期10月能力测评数学试卷
展开1.下列关于的函数中,属于二次函数的是( )
A.B.C.D.
2.对于二次函数的图象,下列说法不正确的是( )
A.开口向下B.对称轴是直线
C.顶点坐标为(-3,0)D.当时,随的增大而减小
3.已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为,则,的大小关系为( )
A.B.C.D.
4.杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱.某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个,5月份销售11.5万个.设该摆件销售量的月平均增长率为,则可列方程为( )
A.B.C.D.
5.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限,则二次函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
6.如图所示的是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是( )
A.B.C.且D.或
7.已知二次函数的变量,的部分对应值如表:
根据表中信息,可得一元二次方程的一个近似解的范围是( )
A.B.C.D.
8.若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于的二次函数(为常数,)总有两个不同的倍值点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
二.填空题(共8小题)
9.关于的方程的一个根为-2,则另一个根是______.
10.若抛物线的对称轴是轴,则的值是______.
11.二次函数的图象与的图象形状相同,开口方向相反,且经过点(1,1),则该二次函数的解析式为______.
12.将抛物线向右平移1个单位长度,得到抛物线,抛物线与抛物线关于轴对称,则抛物线的解析式为______.
13.要建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高,高度为3米,水柱落地处离池中心3米,水管长应为______米.
14.抛物线与轴的交点为,与轴的交点为,则的面积为______.
15.若实数,满足,则代数式的最小值为_______.
16.已知抛物线经过点和点,则的最小值是______.
三.解答题(共11小题)
17.解方程:(1);(2).
18.关于的方程.
(1)求证:不论取何值,方程总有两个实数根;
(2)若该方程有两个实数根,且,求的值.
19.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
(1)求二、三这两个月的月平均增长率;
(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场获利4250元?
20.已知二次函数的与的部分对应值如表:
(1)求这个二次函数表达式;
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象;
(3)当的取值范围为_____时,.
21.如图,已知抛物线经过两点,与轴交于点.
(1)求抛物线解析式和顶点坐标;
(2)观察图象;
①当时,直接写出的取值范围;
②点为抛物线上一点,若,求出此时点的坐标.
22.如图,将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折,再得到一个新函数的图象(图中的实线).(1)当时,新函数值为______,当时,新函数值为______;
(2)当______时,新函数有最小值;
(3)当新函数中函数随的增大而增大时,自变量的范围是______;
(4)若关于的方程有且只有两个解,则的取值范围_______.
23.已知二次函数.
(1)若其图象经过点(-3,0),求此二次函数的表达式;
(2)当时,随的增大而增大,则的取值范围是______;
(3)点是函数图象上两个点,满足且,试比较和的大小关系.
24.一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地,而栅栏构成另外三边.农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造,每段栅栏不可分割,且所有栅栏全部用完.设这个矩形地块的长为米,矩形面积为平方米.
(1)求关于的函数表达式;
(2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割,当取何值时,所围矩形土地的面积最大.
25.根据以下信息,探索完成任务.
26.在平面直角坐标系中,设函数(是常数,).
(1)若点(1,0)和(2,1)在该函数的图象上,则函数图象的顶点坐标是_______;
(2)若点(2,1)在该函数的图象上,且该函数图象与轴有两个不同的交点、(在的左边),,则_______;
(3)已知,当(是实数,)时,该函数对应的函数值分别为,.若,求证:.
27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,对称轴为直线,点的坐标为(1,0).(1)该抛物线的表达式为_____;
(2)点为抛物线上一点(不与点重合),连接.当时,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,在对称轴上是否存在一点,连接,将线段绕点顺时针旋转,使点恰好落在抛物线上?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
2024秋季初三数学10月能力测评卷参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
3.B【解析】解:二次函数的开口向上,对称轴是直线,时,随的增大而增大,点关于直线的对称点是.
4.A【解析】解:根据题意得:.故选:A.
5.A【解析】解:一次函数的图象经过第一、二、四象限,.二次函数的图象,开口向下,与轴交于点(0,0)和.符合函数性质的图象是.
6.D【解析】解:抛物线对称轴为直线,且抛物线与轴交于(5,0),抛物线与轴另一交点坐标为(-1,0),不等式的解集是或.
7.C
【解析】解:当时,;当时,,方程的一个近似根的范围是.
8.D
【解析】解:将(k,2k)代入二次函数,得,整理得.是关于的一元二次方程,总有两个不同的实根,恒成立.
(此题的关键并不完全在于,而是在于这个恒成立.)新的代数式的值一定大于0.
令(设一个新的函数,不再与前面函数有关系)
,(故联想到函数图像一定在轴上方,即与轴无交点.)
,
(不明所以的同学,可能会晕乎,为什么前面,这边又了,注意这是两个问题.)
即,解得.
二.填空题(共8小题)
9..
【解析】解:设方程的根为,
是方程的一个根,,
10.2.
【解析】解:抛物线的对称轴是轴,
11.
【解析】解:二次函数的图象与的图象形状相同,开口方向相反,
二次函数是,
二次函数经过点,
抛该二次函数的解析式为.
12.
【解析】解:依题意,,抛物线向右平移1个单位长度,得到抛物线,,此时抛物线的顶点坐标为,抛物线与抛物线关于轴对称,抛物线的顶点坐标(2,-2),开口方向向下,开口大小不变,则抛物线的解析式为,
13..
【解析】解:建立合适的平面直角坐标系,并设抛物线的解析式为,由题意可知抛物线与地面的一个交点为(2,-3),,解得:,抛物线的解析式为:,当时,.(代表到轴的距离)水管的长度是.故答案为:.
14.6.
【解析】解:抛物线与轴的交点为,与轴的交点为,,解得:,当的面积为:.
15..
【解析】解:,,,即,(等价变形的重要性),,(别激动,最小值可以取到嘛?)
的最大值为2,代数式的最小值等于-10.
16..
【解析】解:抛物线,抛物线的对称轴为直线,抛物线经过点和点,点和点关于对称轴对称,,即,,时,有最小值为:.
三.解答题(共11小题)
17.解方程:【解析】
解:(1),
或,解得:或,
原方程的根为:;
(2),
或,解得:或,
原方程的根为:.
18.【解析】(1)证明:,,不论取何值,方程总有两个实数根;
(2)解:,对于方程,可得,,解得:.
19.【解析】解:(1)设二、三这两个月的月平均增长率为,根据题意可得:解得:(不合题意舍去).
答:二、三这两个月的月平均增长率为;
(2)设当商品降价元时,商品获利4250元,根据题意可得:解得:(不合题意舍去).答:当商品降价5元时,商场获利4250元.
20.【解析】解:(1)设二次函数的表达式为,把(1,1)代入得,解得,二次函数的表达式为,即;
(2)如图,抛物线的顶点坐标为(1,1),
(3)时,或,当时,.故答案为:.
21.【解析】解:(1)抛物线经过两点,,解得:,抛物线的解析式为,顶点坐标为(1,-4);
【解析】(2)①,抛物线开口向上,对称轴为直线,当时,随着的增大而减小,当时,随着的增大而增大,当时,当时,有最小值为-4,当时,当时,的取值范围为;
【解析】②,,抛物线顶点坐标为,当时,,解得:,或(5,12).
22.(1)5,3;【解析】解:(1)把代入得;
把代入,
当时,新函数值为-5,当时,新函数值为3,
(2)-2或2;
(3)或;
(4)或.
23.【解析】解:解:(1)将代入函数解析式得,,解得,所以二次函数的表达式为.
(2)当时,随的增大而增大,,解得:.
(3)用作差法比较即可.
将点和点坐标代入函数解析式得,
.
两式相减得,
又,所以.
又,
当,即时,;
当,即时,;
当,即时,.
24.【解析】解:(1)这个矩形地块的长为米,则长为米,根据题意得:,
关于的函数表达式为;
(2),
,每段栅栏不可分割,(围栏不可分割是此题的易失分点)
当或152时,有最大值,最大值为11248,
答:当或152时,所围矩形土地的面积最大为11248平方米.
25.根据以下信息,探索完成任务.
26.【解析】(1)(1,0);
(2)或解:将代入抛物线表达式得:,则,则抛物线的表达式为:,则抛物线的对称轴为直线,
①当点在轴左侧时,
设点,则点,
则抛物线的表达式为:,
则且,解得:,
简化:点,则点,则对称轴为,
,代入求得;(右侧不再展示,思路一致)
②当点在轴右侧时,
设点,则点,
则抛物线的表达式为:,
则且,
解得:,
故答案为:或;
【解析】(3)证明:时,,
,,
,
,
,
,.
27.(1);
(2)相邻等角问题
法一:(2)法一:作于,交于,如图:
在中,令得,
,
是等腰直角三角形,
,
,
直线的关系式为:,
由
得:(舍去),,
,
法二:过点作垂直于轴,交于,如图:
为等腰直角三角形,
,
,
,,
直线的解析式为,
由得:(舍去),,;
(3)【解析】(3)在对称轴上存在一点,将线段绕点顺时针旋转,使点恰好落在抛物线上,理由如下:
点旋转后的对应点为,设,则
作对称轴于对称轴于,
,对称轴为直线,
(从此处开始的线段表述,可能你看到会觉得漏解了,但!实践发现,不论在的上方,还是在的下方,最终表示出来的的坐标是一致的,故此处相当于将两种情况合并)
将线段绕点顺时针旋转得线段,
,
,
,
,,
恰好落在抛物线上,
,
(解这个方程,耐人寻味.此处就展现巧算的奥妙)
解得,
或.
综上所述:或.
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-11
-5
-1
1
1
…
x
…
-3
-1
1
3
…
y
…
-3
0
1
0
…
如何设计种植方案?
素材1
小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践,现有A、B两种作物的相关信息如下表所示:
A作物
B作物
每平方米种植株数(株)
2
10
单株产量(千克)
1.2
0.5
素材2
由于A作物植株间距较大,可增加A作物每平方米的种植株树.经过调研发现,每平方米种植A作物每增加1株,A作物的单株产量减少0.1千克.
素材3
若同时种植A、B两种作物,实行分区域种植.
问题
单一种植
(全部种植A作物)
任务1:明确数量关系
设每平方米增加x株A作物(x为正整数),
则每平方米有______株,
单株产量为_______千克.(用含x的代数式表示)
任务2:计算产量
要使A作物每平方米产量为4.8千克,则每平方米应种植多少株?
分区种植
(种植A、B
两种作物)
任务3:规划种植方案
设这100平方米的土地中有α平方米用于种植A作物,且每平方米产量最大,其余区域按照每平方米10株种植B作物,当这100平方米总产量不低于496千克时,则α的取值范围是______.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
B
A
A
D
C
D
如何设计种植方案?
问题解决
单一种植
(全部种植A作物)
任务1:明确数量关系
设每平方米增加x株A作物(x为正整数),
则每平方米有(2+x)株,
单株产量为(1.2-0.1x)千克.(用含x的代数式表示)
任务2:计算产量
要使A作物每平方米产量为4.8千克,则每平方米应种植多少株?
任务二:根据题意得:,整理得:,解得:,或,
答:每平方米应种植6株或8株;
分区种植
(种植A、B
两种作物)
任务3:规划种植方案
设这100平方米的土地中有α平方米用于种植A作物,且每平方米产量最大,其余区域按照每平方米10株种植B作物,当这100平方米总产量不低于496千克时,则α的取值范围是a≤40.
根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量
任务三:
设种植A作物每平方米的产量为y千克,根据题意得:
y=(2+x)(1.2-01x)=-0.1x2+x+2.4=-0.1(x-5)2+4.9,
∵-0.1<0,
∴当x=5时,y有最大值,最大值为4.9,
∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克,根据题意得:4.9a+(100-a)×10×0.5≥496,解得a≤40,则a的取值范围是a≤40,
江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷: 这是一份江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2024-2025学年江苏省苏州市苏州地区学校数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】: 这是一份2024-2025学年江苏省苏州市苏州地区学校数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】,共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校九年级(上)期中数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校九年级(上)期中数学试卷(含解析),共27页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。