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    江苏省苏州市苏州中学校2024-2025学年九年级上学期10月能力测评数学试卷

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    这是一份江苏省苏州市苏州中学校2024-2025学年九年级上学期10月能力测评数学试卷,共15页。试卷主要包含了杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱,若一个点的坐标满足A等内容,欢迎下载使用。

    1.下列关于的函数中,属于二次函数的是( )
    A.B.C.D.
    2.对于二次函数的图象,下列说法不正确的是( )
    A.开口向下B.对称轴是直线
    C.顶点坐标为(-3,0)D.当时,随的增大而减小
    3.已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为,则,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    4.杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱.某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个,5月份销售11.5万个.设该摆件销售量的月平均增长率为,则可列方程为( )
    A.B.C.D.
    5.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限,则二次函数的图象大致为( )
    A.B.C.D.
    6.如图所示的是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是( )
    A.B.C.且D.或
    7.已知二次函数的变量,的部分对应值如表:
    根据表中信息,可得一元二次方程的一个近似解的范围是( )
    A.B.C.D.
    8.若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于的二次函数(为常数,)总有两个不同的倍值点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
    二.填空题(共8小题)
    9.关于的方程的一个根为-2,则另一个根是______.
    10.若抛物线的对称轴是轴,则的值是______.
    11.二次函数的图象与的图象形状相同,开口方向相反,且经过点(1,1),则该二次函数的解析式为______.
    12.将抛物线向右平移1个单位长度,得到抛物线,抛物线与抛物线关于轴对称,则抛物线的解析式为______.
    13.要建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高,高度为3米,水柱落地处离池中心3米,水管长应为______米.
    14.抛物线与轴的交点为,与轴的交点为,则的面积为______.
    15.若实数,满足,则代数式的最小值为_______.
    16.已知抛物线经过点和点,则的最小值是______.
    三.解答题(共11小题)
    17.解方程:(1);(2).
    18.关于的方程.
    (1)求证:不论取何值,方程总有两个实数根;
    (2)若该方程有两个实数根,且,求的值.
    19.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
    (1)求二、三这两个月的月平均增长率;
    (2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场获利4250元?
    20.已知二次函数的与的部分对应值如表:
    (1)求这个二次函数表达式;
    (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象;
    (3)当的取值范围为_____时,.
    21.如图,已知抛物线经过两点,与轴交于点.
    (1)求抛物线解析式和顶点坐标;
    (2)观察图象;
    ①当时,直接写出的取值范围;
    ②点为抛物线上一点,若,求出此时点的坐标.
    22.如图,将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折,再得到一个新函数的图象(图中的实线).(1)当时,新函数值为______,当时,新函数值为______;
    (2)当______时,新函数有最小值;
    (3)当新函数中函数随的增大而增大时,自变量的范围是______;
    (4)若关于的方程有且只有两个解,则的取值范围_______.
    23.已知二次函数.
    (1)若其图象经过点(-3,0),求此二次函数的表达式;
    (2)当时,随的增大而增大,则的取值范围是______;
    (3)点是函数图象上两个点,满足且,试比较和的大小关系.
    24.一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地,而栅栏构成另外三边.农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造,每段栅栏不可分割,且所有栅栏全部用完.设这个矩形地块的长为米,矩形面积为平方米.
    (1)求关于的函数表达式;
    (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割,当取何值时,所围矩形土地的面积最大.
    25.根据以下信息,探索完成任务.
    26.在平面直角坐标系中,设函数(是常数,).
    (1)若点(1,0)和(2,1)在该函数的图象上,则函数图象的顶点坐标是_______;
    (2)若点(2,1)在该函数的图象上,且该函数图象与轴有两个不同的交点、(在的左边),,则_______;
    (3)已知,当(是实数,)时,该函数对应的函数值分别为,.若,求证:.
    27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,对称轴为直线,点的坐标为(1,0).(1)该抛物线的表达式为_____;
    (2)点为抛物线上一点(不与点重合),连接.当时,求点的坐标;
    (3)在(2)的条件下,在对称轴上是否存在一点,连接,将线段绕点顺时针旋转,使点恰好落在抛物线上?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    2024秋季初三数学10月能力测评卷参考答案与试题解析
    一.选择题(共8小题)
    3.B【解析】解:二次函数的开口向上,对称轴是直线,时,随的增大而增大,点关于直线的对称点是.
    4.A【解析】解:根据题意得:.故选:A.
    5.A【解析】解:一次函数的图象经过第一、二、四象限,.二次函数的图象,开口向下,与轴交于点(0,0)和.符合函数性质的图象是.
    6.D【解析】解:抛物线对称轴为直线,且抛物线与轴交于(5,0),抛物线与轴另一交点坐标为(-1,0),不等式的解集是或.
    7.C
    【解析】解:当时,;当时,,方程的一个近似根的范围是.
    8.D
    【解析】解:将(k,2k)代入二次函数,得,整理得.是关于的一元二次方程,总有两个不同的实根,恒成立.
    (此题的关键并不完全在于,而是在于这个恒成立.)新的代数式的值一定大于0.
    令(设一个新的函数,不再与前面函数有关系)
    ,(故联想到函数图像一定在轴上方,即与轴无交点.)

    (不明所以的同学,可能会晕乎,为什么前面,这边又了,注意这是两个问题.)
    即,解得.
    二.填空题(共8小题)
    9..
    【解析】解:设方程的根为,
    是方程的一个根,,
    10.2.
    【解析】解:抛物线的对称轴是轴,
    11.
    【解析】解:二次函数的图象与的图象形状相同,开口方向相反,
    二次函数是,
    二次函数经过点,
    抛该二次函数的解析式为.
    12.
    【解析】解:依题意,,抛物线向右平移1个单位长度,得到抛物线,,此时抛物线的顶点坐标为,抛物线与抛物线关于轴对称,抛物线的顶点坐标(2,-2),开口方向向下,开口大小不变,则抛物线的解析式为,
    13..
    【解析】解:建立合适的平面直角坐标系,并设抛物线的解析式为,由题意可知抛物线与地面的一个交点为(2,-3),,解得:,抛物线的解析式为:,当时,.(代表到轴的距离)水管的长度是.故答案为:.
    14.6.
    【解析】解:抛物线与轴的交点为,与轴的交点为,,解得:,当的面积为:.
    15..
    【解析】解:,,,即,(等价变形的重要性),,(别激动,最小值可以取到嘛?)
    的最大值为2,代数式的最小值等于-10.
    16..
    【解析】解:抛物线,抛物线的对称轴为直线,抛物线经过点和点,点和点关于对称轴对称,,即,,时,有最小值为:.
    三.解答题(共11小题)
    17.解方程:【解析】
    解:(1),
    或,解得:或,
    原方程的根为:;
    (2),
    或,解得:或,
    原方程的根为:.
    18.【解析】(1)证明:,,不论取何值,方程总有两个实数根;
    (2)解:,对于方程,可得,,解得:.
    19.【解析】解:(1)设二、三这两个月的月平均增长率为,根据题意可得:解得:(不合题意舍去).
    答:二、三这两个月的月平均增长率为;
    (2)设当商品降价元时,商品获利4250元,根据题意可得:解得:(不合题意舍去).答:当商品降价5元时,商场获利4250元.
    20.【解析】解:(1)设二次函数的表达式为,把(1,1)代入得,解得,二次函数的表达式为,即;
    (2)如图,抛物线的顶点坐标为(1,1),
    (3)时,或,当时,.故答案为:.
    21.【解析】解:(1)抛物线经过两点,,解得:,抛物线的解析式为,顶点坐标为(1,-4);
    【解析】(2)①,抛物线开口向上,对称轴为直线,当时,随着的增大而减小,当时,随着的增大而增大,当时,当时,有最小值为-4,当时,当时,的取值范围为;
    【解析】②,,抛物线顶点坐标为,当时,,解得:,或(5,12).
    22.(1)5,3;【解析】解:(1)把代入得;
    把代入,
    当时,新函数值为-5,当时,新函数值为3,
    (2)-2或2;
    (3)或;
    (4)或.
    23.【解析】解:解:(1)将代入函数解析式得,,解得,所以二次函数的表达式为.
    (2)当时,随的增大而增大,,解得:.
    (3)用作差法比较即可.
    将点和点坐标代入函数解析式得,

    两式相减得,
    又,所以.
    又,
    当,即时,;
    当,即时,;
    当,即时,.
    24.【解析】解:(1)这个矩形地块的长为米,则长为米,根据题意得:,
    关于的函数表达式为;
    (2),
    ,每段栅栏不可分割,(围栏不可分割是此题的易失分点)
    当或152时,有最大值,最大值为11248,
    答:当或152时,所围矩形土地的面积最大为11248平方米.
    25.根据以下信息,探索完成任务.
    26.【解析】(1)(1,0);
    (2)或解:将代入抛物线表达式得:,则,则抛物线的表达式为:,则抛物线的对称轴为直线,
    ①当点在轴左侧时,
    设点,则点,
    则抛物线的表达式为:,
    则且,解得:,
    简化:点,则点,则对称轴为,
    ,代入求得;(右侧不再展示,思路一致)
    ②当点在轴右侧时,
    设点,则点,
    则抛物线的表达式为:,
    则且,
    解得:,
    故答案为:或;
    【解析】(3)证明:时,,
    ,,



    ,.
    27.(1);
    (2)相邻等角问题
    法一:(2)法一:作于,交于,如图:
    在中,令得,

    是等腰直角三角形,


    直线的关系式为:,

    得:(舍去),,

    法二:过点作垂直于轴,交于,如图:
    为等腰直角三角形,


    ,,
    直线的解析式为,
    由得:(舍去),,;
    (3)【解析】(3)在对称轴上存在一点,将线段绕点顺时针旋转,使点恰好落在抛物线上,理由如下:
    点旋转后的对应点为,设,则
    作对称轴于对称轴于,
    ,对称轴为直线,
    (从此处开始的线段表述,可能你看到会觉得漏解了,但!实践发现,不论在的上方,还是在的下方,最终表示出来的的坐标是一致的,故此处相当于将两种情况合并)
    将线段绕点顺时针旋转得线段,



    ,,
    恰好落在抛物线上,

    (解这个方程,耐人寻味.此处就展现巧算的奥妙)
    解得,
    或.
    综上所述:或.
    x

    -3
    -2
    -1
    0
    1

    y

    -11
    -5
    -1
    1
    1

    x

    -3
    -1
    1
    3

    y

    -3
    0
    1
    0

    如何设计种植方案?
    素材1
    小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践,现有A、B两种作物的相关信息如下表所示:
    A作物
    B作物
    每平方米种植株数(株)
    2
    10
    单株产量(千克)
    1.2
    0.5
    素材2
    由于A作物植株间距较大,可增加A作物每平方米的种植株树.经过调研发现,每平方米种植A作物每增加1株,A作物的单株产量减少0.1千克.
    素材3
    若同时种植A、B两种作物,实行分区域种植.
    问题
    单一种植
    (全部种植A作物)
    任务1:明确数量关系
    设每平方米增加x株A作物(x为正整数),
    则每平方米有______株,
    单株产量为_______千克.(用含x的代数式表示)
    任务2:计算产量
    要使A作物每平方米产量为4.8千克,则每平方米应种植多少株?
    分区种植
    (种植A、B
    两种作物)
    任务3:规划种植方案
    设这100平方米的土地中有α平方米用于种植A作物,且每平方米产量最大,其余区域按照每平方米10株种植B作物,当这100平方米总产量不低于496千克时,则α的取值范围是______.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    A
    D
    B
    A
    A
    D
    C
    D
    如何设计种植方案?
    问题解决
    单一种植
    (全部种植A作物)
    任务1:明确数量关系
    设每平方米增加x株A作物(x为正整数),
    则每平方米有(2+x)株,
    单株产量为(1.2-0.1x)千克.(用含x的代数式表示)
    任务2:计算产量
    要使A作物每平方米产量为4.8千克,则每平方米应种植多少株?
    任务二:根据题意得:,整理得:,解得:,或,
    答:每平方米应种植6株或8株;
    分区种植
    (种植A、B
    两种作物)
    任务3:规划种植方案
    设这100平方米的土地中有α平方米用于种植A作物,且每平方米产量最大,其余区域按照每平方米10株种植B作物,当这100平方米总产量不低于496千克时,则α的取值范围是a≤40.
    根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量
    任务三:
    设种植A作物每平方米的产量为y千克,根据题意得:
    y=(2+x)(1.2-01x)=-0.1x2+x+2.4=-0.1(x-5)2+4.9,
    ∵-0.1<0,
    ∴当x=5时,y有最大值,最大值为4.9,
    ∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克,根据题意得:4.9a+(100-a)×10×0.5≥496,解得a≤40,则a的取值范围是a≤40,
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