梅河口市第五中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为( )
A.B.C.D.
2．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．无字证明即无需语言的证明（prfwithutwrds），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为( )
A.B.
C.D.
4．已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是( )
A.或B.或
C.或D.或
5．不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
6．在中,“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.充要条件
C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件
7．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．若关于x的不等式对一切实数x都成立,则实数a的取值范围是( )
A.或B.
C.D.或
二、多项选择题
9．如果,则下列选项不正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,,则D.若,,则
10．已知关于x的不等式的解集为,则下列说法正确的是( )
A.B.不等式的解集为
C.D.不等式的解集为
11．已知正数a，b满足，则下列结论正确的是( )
A.ab的最大值为1B.的最小值为4
C.的最小值为9D.的最小值为
三、填空题
12．已知集合,,且,则实数k的取值范围是______.
13．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
14．设正数a，b满足，，则的最大值是____________.
四、解答题
15．已知若的最小值为，写出的表达式．
16．已知集合，，若．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求的最值．
17．已知定义在R上的奇函数满足：时，.
(1)求的表达式；
(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围.
18．已知，且.
(1)请给出的一组值，使得成立；
(2)证明不等式恒成立.
19．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略，中国正在大力实施新能源汽车发展计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式：
(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：时，，故充分性成立，
，解得：或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：A
解析：由于AB是圆O的直径，
所以，圆O的半径为，
而,由射影定理得.
在直角三角形ACD中，，
由射影定理得，
由.
所以.
故选:A
4．答案：A
解析：因为不等式 恰有 3 个整数解,
所以 , 解得 或 ;
又因为不等式 , 可化为 ；
当 时, 不等式的解集为 ,
因为 , 所以 3 个整数解为 1,2,3, 则 ,
解得 ;
当 时, 不等式解集为 ,
因为 ,
所以 3 个整数解为 ,则 ,
解得 .
综上, a 的取值范围是 或
故选: A
5．答案：B
解析：解不等式
得
解集为
故答案为B
6．答案：B
解析：在中,令角A,B,C所对边分别为a,b,c,
由正弦定理得,
所以“”是“”的充要条件.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意得，，
则，
令，，函数，
则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，所以.
8．答案：C
解析：当时,不等式对一切实数x都成立.
当时,要使得不等式对一切实数x都成立,
则,解得.
综上,.
9．答案：ABD
解析：A选项,若,如,则,所以A选项不正确.
B选项,若,如,则,所以B选项不正确.
C选项,若,,根据不等式的性质可知,所以C选项正确.
D选项,若,,如,,,.
此时,所以D选项不正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：由题意得：的解为-2和3,且,
所以,,解得：,,
所以A错误,
,即,解得：,B正确;
,C错误;
变形为,不等式除以得：,
解得：,D正确.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：由正数a，b满足，可得，解得，即，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
由正数a，b满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
，由A知，
由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误；
由，可得，即，
所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：因为,
所以,
又,,
所以.
故答案为:
13．答案：
解析：要使在R上为减函数，
那么a必须满足
解得.
14．答案：18
解析：因为
所以 ,
当且仅当 时取等号。
故答案为: 18
15．答案：
解析：函数,开口向上,对称轴为,
(i)当,即时,函数在上单调递减,
所以
即;
(ii)当,即时,函数在上先减后增,
所以;
(iii)当时,函数在上单调递增,
所以.
综上可得,.
16．答案：(1)；
(2)最小值-32，最大值18．
解析：(1)由,得,
解得,或
由,得,
得
实数a的取值范围是[1,2]
(2)
则函数化为,
当时,有最小值,即原函数有最小值为-32;
当时,有最大值,即原函数有最大值为18.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设，则，
因为时，，
所以
又因为是定义在R上的奇函数，
即
所以当时，
综上，的表达式为
(2)由(1)可知，，
设在R上任取两个自变量，令
则
因为，则，
所以
所以函数在R上单调递增.
即，
由是定义在R上的奇函数，可得
即，
由函数在R上单调递增，
可得恒成立，
当时，即，满足；
当时，即，解得
综上，a的取值范围为
18．答案：(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析
解析：(1)（答案不唯一）
(2)证明:由题意可知,,
因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
19．答案：(1)
(2)当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元
解析：(1)由题意知利润收入总成本，
所以利润，
故2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
(2)当时，
，
故当时，；
当时，，
当且仅当，即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元.