梅河口市第五中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件．
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题错误的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，则m与所成的角和n与所成的角相等
6．设是等差数列的前n项和，若，，则=( )
A.6B.7C.8D.9
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
8．若函数既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知集合，，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．函数,,的最小正周期为,且方程在上有两个不相等的实数根,,则下列说法正确的是( )
A.
B.把图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则
C.
D.
11．已知函数,的定义域均为R,且,,若为偶函数,且,则( )
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.
三、填空题
12．“”是“”的_____________条件
13．设，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是__________.
14．已知函数，若对于任意的，均有，则实数k的取值范围是__________．
四、解答题
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角C为钝角，求的取值范围．
16．已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)若关于的方程在区间内有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,已知.
(1)求角B的大小;
(2)若,且的面积为,求的周长.
18．设数列的前n项和为,已知,,成等差数列,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,的前n项和为,若对任意正整数n,不等式恒成立,求的最小值.
19．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程
(2)讨论的单调性
(3)求证：若，有且仅有一个零点
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知，，
由可得或，
且，所以
故选：B
2．答案：C
解析：
故选：C
3．答案：A
解析：由题意得，向量在向量方向上的投影为
向量在向量方向上的投影为，
设向量在向量方向上的投影向量为，
则且，
，由，得，
，
即向量在向量方向上的投影向量为，
故选：A
4．答案：B
解析：解不等式得，，
所以时，不等式不一定成立，即充分性不成立；
当时，成立，即必要性成立；
所以＂＂是＂＂的必要不充分条件．
故选：B
5．答案：C
解析：A：若，，则，故A正确；
B：若，，则，故B正确；
C：若，，，则或，相交，故C错误；
D：若，，由线线平行的性质知时，
m，n与所成的角相等，
当时，由面面平行的性质知n与，所成的角相等，故D正确.
故选：C
6．答案：A
解析：在等差数列中，，
两式相加可得，
则，
所以．
故选：A
7．答案：A
解析：因为
故，即；
又
故，即
故有
故选：A
8．答案：B
解析：函数的定义域为，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，
又，
所以，
所以，，
故选：B
9．答案：BCD
解析：函数中，
所以，
对于选项A.，故选项A错误；
对于选项B.，故选项B正确；
对于选项C.，则，故选项C正确；
对于选项D，集合A的元素是数，
集合C的元素是有序实数对，
因此，故选项D正确．
故选：BCD
10．答案：BCD
解析：依题意,函数,
由的最小正周期为,得,解得,
对于A,,A错误;
对于B,把图象上所有点的横坐标缩短到原来的,
纵坐标不变,得,
则,B正确;
对于C,当时,,
而正弦函数在上的图象关于直线对称,
依题意,,解得,C正确;
对于D,由,得,解得,
由选项C知,,
因此
,D正确.
故选:BCD
11．答案：BD
解析：①,
②,
由②可得:③,
①③联立可得:④,
所以的图象关于点对称,A错;
由④,又为偶函数,所以,
所以,两式相减可得:,
又,,结合
所以,B对,
,由,可知:,
所以,所以,C错;
由,可得,
结合,得:,
所以,
又,所以,
,,
即,
,,
所以,
所以,D正确.
故选:BD
12．答案：充分不必要
解析：由得，
所以，即；因为，
所以＂是＂＂的充分不必要条件，
即＂＂是＂＂的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
13．答案：
解析：作出函数的图像，
如图所示，因为由三个不同的实数根，
即函数与的图像有三个不同的交点，
结合图像，可得，
即实数a的取值范围为
故答案为：
14．答案：
解析：若，对于任意的，均有
则
解得：，
故：实数k的取值范围是
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以由余弦定理可得：，
由正弦定理得：，
又因为
则有，
因为，所以，则，
因为，所以
由余弦定理得：，
因为，所以，解得，
所以的面积
(2)因为C为钝角，所以，
解得，由正弦定理，
得，且
代入化简得：
因为，所以，
即，所以的取值范围是
16．答案：(1);
(2);
(3)
解析：(1)当时,,
,
,,
所求的切线方程为.
(2),
.
由得,
故函数在上单调递减,在单调递增;
①当,即时,,在上为增函数,;
②当,即时,在上，
为减函数,在上，
为增函数,;
③当,即时,，
在上为减函数,.
综上所述,.
(3),方程在上有两个不相等的实数根,
等价于方程：在上有两个不相等的实数根.
令,
则,
令,得 (舍去),,
因此在内是减函数,在内是增函数,
因此,方程在内有两个不相等的实数根,
只需方程：在和内各有一个实根,
于是,
解得,
a的取值范围是.
17．答案：(1)
(2).
解析：(1)在中,
由
及正弦定理得,
而,
则,
由,得,,
于是,又,所以.
(2)由,且的面积为,
得,
即,
解得,
由余弦定理得,
所以的周长为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,成等差数列,
所以,即,
当时,,
即,
由,得,
所以数列是以2为公比的等比数列,
则,
即,所以,
所以;
(2),
则,
因为恒成立,所以,
所以的最小值.
19．答案：(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
解析：(1)当时，，
求导得，则，而，
所以函数的图像在处的切线方程为，
即.
(2)函数的定义域为，
求导得，
①当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
②当时，由，
得，由，得，
则函数在上单调递增，在，上单调递减；
③当时，，函数在上单调递减；
④当时，由，得，
由，得，
则函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为，；
当时，函数的递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为，.
(3)①当时，函数在上单调递减，
而，，
因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；
②当时，函数在处取得极小值，
令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，
，当时，，
则，
因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；
③当时，函数在处取得极小值，，
同理存在唯一使，
则有且仅有一个零点，
所以有且仅有一个零点