高考仿真重难点训练08 数列-2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理•高分突破》（新高考专用）

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一、单选题
1．记等差数列的前n项和为，若，，则（）
A．60B．80C．140D．160
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.
【解析】等差数列中，，而，则，
公差，，
所以.
故选：C
2．若数列的前项和，则等于（）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】根据与关系求解即可.
【解析】.
故选：C.
3．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出.
【解析】数列中，由，知，则，
又，于是，而，
所以.
故选：A
4．设是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2>0，则a2+a3>0B．若，则
C．若0a1a3D．若，则a2−a1a4−a1<0
【答案】C
【分析】设an的公差为，根据公差的正负不确定可判断AB；根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D.
【解析】设an的公差为，
对于A，∵a1+a2=2a1+d>0,∴a1+a3=2a1+d+2d，
因为公差的正负不确定，所以2a1+3d的正负不确定，故A错误；
对于B，∵a1+a3=2a1+2d<0,∴a1+a2=2a1+2d−d，
因为公差的正负不确定，所以2a1+d的正负不确定，故B错误；
对于C，a1+a3=2a2，所以2a2=a1+a3≥2a1a3，∴a2≥a1a3
又∵a2>a1，故不存在a1=a2=a3使原式取等情况，∴a2>a1a3，故C正确；
对于D，若，则a2−a1a4−a1=a1+d−a1a1+3d−a1=3d2≥0，
所以a2−a1a4−a1≥0，故D错误.
故选：C.
5．数列an是等差数列，是数列an的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解．
【解析】数列是等差数列，是数列的前项和，，，，是正整数，
甲：，乙：，
则甲不能推出乙，
例如等差数列1，2，3，4，5，，中，
，，，，，
，但，即充分性不成立；
乙不能推出甲，
例如等差数列1，2，3，4，5，，中，
，，，，，
，但，即必要性不成立，
甲是乙的不充分不必要条件．
故选：D．
6．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解析】解：由，
可得，
所以当时，，
又，
所以，
所以．
故选：D．
7．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（）

A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.
【解析】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，
则，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即，
综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
8．数列中，，，记，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD.
【解析】由可得，
由于，所以，
故，故，
又可得，
因此，
故，故AB错误，
又，又因为，则等号无法取到，
故，
由于故，因此
，故C正确，D错误，
故选：C
【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解.
二、多选题
9．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（）
A．
B．当为奇数时，
C．当为偶数时，
D．数列的前项和等于
【答案】BCD
【分析】根据题意，得到为奇数时，，可判定B正确；当为偶数时，，所以所以A错误，C正确；由，求得数列的前项和，可判定D正确．
【解析】由，可得，，
当为奇数且时，，其中符合，
所以当为奇数时，，所以B正确；
当为偶数时，，所以A错误，C正确；
又由，，
所以数列的前项和为
，所以D正确．
故选：BCD.
10．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
【答案】BC
【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.
【解析】若，
当时，，
解得，故A错；
若，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
，
根据递推关系可知，
当为奇数，即时，
，故B正确；
若，
则成立，
故数列可以是等差数列，即C正确；
若数列是等比数列，假设公比为，
则由，
得，
两式相除得，，
即，
解得，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
11．记数列的前n项和为，则下列说法错误的是（）
A．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
B．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
C．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
D．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
【答案】BCD
【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合已知可得A正确；举反例令，可判断BD错误；举反例令可得C错误（注意题目中让选错误的）.
【解析】对A：若恒成立，则，，故A正确；
对B、D：反例为，，故B、D错误；
对C：反例为，故C错误．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.
三、填空题
12．已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为．
【答案】
【分析】由恒成立，可得，求得的最大值即可.
【解析】恒成立，
∴，，
∵，∴，∴．
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
13．若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有项．
【答案】
【分析】根据与的关系求出数列的通项，再令即可得解.
【解析】设数列的前项和为，
则，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
令，则，
所以在该数列中小于100的项一共有项.
故答案为：.
14．“序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则bn的前10项和为 .
【答案】
【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④，可得，分别研究为奇数和偶数时bn的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果.
【解析】因为，依题意得，，，
显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0，
由此可得中共有项，其中1和的项数相同，
设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，，
从而①，
因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，
得到新的有序实数组，
则②，
①②得③，
所以④，
④③得，
所以当为奇数且时，，
经检验，当时符合，所以(为奇数)，
当为偶数，则为奇数，又因为，
所以，
所以，
当为奇数时，，
所以bn的前10项和为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合已学数学知识进行解答.
四、解答题
15．数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【解析】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
16．已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【解析】（1）证明：令，又，则有
，
又，所以
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
17．已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式及数列的前n项和
(2)是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，，
【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；
（2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论.
【解析】（1）由题意在等差数列an中，设公差为d，
由，得，则，
又，，成等比数列，
∴7，，成等比数列，得，
即，得，
∴，，
∴数列an的通项公式为：（）．
∴，
∴
.
（2）若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，
则，即，
化简得：，解得：
又且，所以，，
故存在正整数，，使得，，成等比数列.
18．已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出；
（2）利用错位相减法求出；
（3）利用放缩法求和可得答案.
【解析】（1）由题意，
，
又是和的等比中项，得，
又，解得，
；
（2），
设，
则，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，
.
结论得证.
19．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数的各位上的数字分别记为，则表示为关于10的次多项式，即，其中，，记为，简记为．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们可类似给出进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数，可将任意一个正整数，其各位上的数字分别记为，则唯一表示为下列形式：，其中，，并简记为．
进而，给出一个正整数，可将小数表示为下列形式：，其中，，并简记为．
(1)设在三进制数下可以表示为，在十进制数下可以表示为，试分别将转化成十进制数，转化成二进制数；
(2)已知数列an的前项和为，且满足，，数列bn满足，当时，；
①当时，求数列bn的通项公式；
②证明：当时，．
【答案】(1)，
(2)① ②证明见解析
【分析】（1）直接使用进制表示的定义即可；
（2）①利用数学归纳法求得，再用进制表示的定义得到，
②利用通项公式直接证明即可.
【解析】（1）由于，，
故的十进制表示是，的二进制表示是.
（2）①由于，故.
用数学归纳法证明：.
当时，结论显然成立；
假设结论对正整数均成立，考虑的情况.
此时，
所以结论对也成立.
由数学归纳法可知对任意正整数成立.
当时，由已知有
.
所以所求的通项公式为.
②.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进制表示定义的理解.