江苏省南通市如东县、通州区部分学校2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市如东县、通州区部分学校2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
5．若,则( )
A.0B.1C.2D.3
6．已知函数为定义在R上的奇函数,当时,,则当时的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若命题“,不等式恒成立”是真命题,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．存在三个实数,,,满足下列两个等式:①;②,其中M表示这三个实数,,中的最大值,则( )
A.M的最大值是2B.M的最小值是2
C.M的最大值是D.M的最小值是
二、多项选择题
9．下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.若,,则.
10．已知函数满足,下列结论正确的是( )
A.B.
C.为奇函数D.为偶函数
11．已知,,,则下列结论正确的有( )
A.的最小值为4
B.的最小值为9
C.的最小值为10
D.的最小值为128
三、填空题
12．计算__________.
13．若函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是__________.
14．如图,边长为4的菱形的两条对角线交于点O,且.动点P从点A出发,沿着菱形四条边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到点O距离的平方为,函数在上单调递__________（填“增”或“减”）;若关于x的方程恰有4个不等实根,则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知集合,集合.
（1）若,求;
（2）若是的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
16．已知函数.
（1）若,求的值;
（2）若,求函数的最小值.
17．已知定义在上的奇函数满足:对,,且,都有成立,且.
（1）若函数.
①求证:函数是偶函数;
②求函数的单调区间;
（2）求不等式的解集.
18．已知函数
（1）若是R上的增函数,求实数a的取值范围;
（2）若,方程有三个实数解,,.
①写出实数t和的取值范围;
②求证:
19．已知二次函数满足:有两个实数根,.
（1）若,,,求实数b的取值范围;
（2）若,,记在时的最小值为,求的表达式;
（3）若,,,与都是整数且,求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
故,
故选:B.
2．答案：C
解析：当时,,则由不能推出,故充分性不成立;
若,则,则能推出,则必要性成立,
则＂＂是＂＂的必要不充分条件.
故选:C.
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：函数的定义域为,则函数的定义域为,令,解得,故函数的定义域为.故选:B.
5．答案：B
解析：,
则,,
故.
故选:B.
6．答案：B
解析：当时,,当且仅当取等号,
所以当时,的取值范围是,
又因为函数为定义在R上的奇函数,所以当时,,
则,即当时,的取值范围是．
故选:B．
7．答案：A
解析：命题＂,不等式恒成立＂是真命题,则,令,则,则,可得.因为函数,在区间上均为减函数,
所以,函数在区间上为减函数,
故当时,,所以,.
因此,实数t的取值范围是.
故选:A.
8．答案：B
解析：由题意可知,,中有2个负数,1个正数,
不妨设,是负数,,则,所以,则,且,所以,即,所以M的最小值为2．
故选:B．
9．答案：AC
解析：,,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
,,
则,
故,故D错误．
故选:AC．
10．答案：ABC
解析：函数满足,
令,可得,,A选项正确;
令,,可得,
,A选项正确;
令,可得,
,
为奇函数,C选项正确,D选项错误．
故选:ABC．
11．答案：BD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：当时,在区间上单调递减,故成立,
当时,要使函数在区间上单调递减,
所以,解得,
综上,实数a的取值范围是．
故答案为:．
14．答案：（1）减;
（2）或
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,
因为,所以,则,
所以.
（2）因为是的充分不必要条件,
所以集合A是集合B的真子集,
则,
解得,
所以实数m的取值范围.
16．答案：（1）7
（2）
解析：（1）因为,
所以,
平方得,
所以.
（2）因为,
所以,
所以函数,
令,
因为（当且仅当时取等号）,所以
所以函数可化为:,
因为函数在上单调递增,
所以时,,
即函数的最小值为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）①由题意得,的定义域为,
因为为奇函数,所以,
所以,
所以函数是偶函数.
②设,
则,
因为对,,且,
都有
所以时,,
所以,
所以在上单调递减,
因为函数是偶函数,所以在上单调递增,
即的单调减区间为,单调增区间为.
（2）不等式,
当时,不等式可化为,
令,
因为,所以不等式可化为,
由（1）可知,在上单调递减,
解得,
当时,不等式可化为,
因为为偶函数,所以,
所以不等式可化为,
因为在上单调递增,
解得,
综上:不等式的解集为.
18．答案：（1）
（2）①
②见解析
解析：（1）因为是R上的增函数,
所以,
解得
（2）因为,
所以,
①时,单调递增,且,
时,单调递减,且,
时,单调递增,且,
所以方程的三个实数解满足:,,
则实数t的取值范围是,的取值范围是.
②因为,,,
所以,
因此有
所以.
19．答案：（1）或
（2）见解析
（3）,或,
解析：（1）由,,
则,
因为,所以,
解得:或,
所以实数b的取值范围是:或.
（2）因为,,所以,
所以
所以
①时,,
对称轴方程为
因为,所以
（i）,即时,在上单调递减,在上单调递增所以
（ii）,即时,在上单调递减
所以
②时,,对称轴方程为
因为,所以
（i）,即时,在上单调递减
所以
（ii）,即时,
在上单调递增,在上单调递减
又
当时,,所以
当时,,所以
综上,
（3）因为有两个实数根,,,,
所以,,
因为与都是整数,所以为整数,即为整数,则为整数,
又,所以,2,4,
当时,,所以的两个实数根为,3,
因为,所以,;
当时,,所以的两个实数根为（舍）;
当时,,所以的两个实数根为0,2,
因为,所以,;
综上:,或,.