2025届辽宁省三省一区高三(上)第一次质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2025届辽宁省三省一区高三(上)第一次质量检测数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，而，】
故.
故选：D.
2. 设复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得.
故选：A.
3. 命题“或”的否定形式是（ ）
A. 且B. 或
C. 且D. 或
【答案】A
【解析】命题“或的否定形式是且.
故选：A
4. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，，则，所以，
所以，
当且仅当且时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】由，可得，所以，
所以，
即，
所以或.
故选：C.
6. 已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数定义域可知，，
当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解，
所以，即在时有解，
作出函数的图象如图，
由图象可知，，得，综上所述，，
故选：D.
7. 已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，，
若，则，
若时，则.
因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，
当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，
综上所述：.
故选：B.
8. 若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设切点，因为，所以，切线方程为，
整理得，所以，
设得，
又因为时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列四个条件中，能成为的充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则，是的充分条件，A正确；
对于B，若，则，是的必要不充分条件，B错误；
对于C，当时，则，是充要条件，C正确；
对于D，，则，即是的充分条件，D正确.
故选：ACD.
10. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为等比数列各项均为正数，所以公比，
又，所以数列递增或递减或为常数列，
化简不等式，得，
所以，所以一个大于，一个小于，
所以有且，所以数列为递减数列，即，
故A正确，B正确；
又因为，所以，
，所以C正确，D不正确.
故选：ABC
11. 下列关于平面向量的命题，正确的是（ ）
A. 已知点在直线AB上，若点为直线AB所在平面内任意一点，满足，则
B. 向量在向量上投影向量为
C. 向量满足，则
D. 若，则向量与向量共线
【答案】BD
【解析】对A：当点在直线AB上时，和取值不确定，故A错；
对B：向量在向量上的投影向量的数量为，
故向量在向量上的投影向量为，B正确；
对C：向量共线时，和不唯一，故C错；
对D：
若，则，
所以有与共线，即或者，
得到或者，
所以共线，D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 满足不等式的的集合为______；
【答案】
【解析】，得，即，
故答案为：.
13. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为______；
【答案】
【解析】因为不等式在上恒成立，
令可得，解得，
若，则上恒成立，
原不等式等价于在x∈0,+∞上恒成立，
因为二次函数的图像开口向上，对称性，
当，即时，
则在上恒成立，符合题意；
当，即时，
则，
可知，符合题意；
综上所述：的取值集合为.
故答案为：.
14. 已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】 1
【解析】由题，因，则.
则在是增函数，是减函数，所以.
因为，当时，，且只有一个零点，符合题意；
若，则，
构造函数，则在上递增，
又，则
结合，则，使得，与已知矛盾；
若，则，
构造函数，则.
构造函数，则.
,
则在是增函数，是减函数，
则，得在上递减，
则.又，所以，使得，与已知矛盾；
综上可知，．
，当时，成立，
当时，由第一空分析可知，，设，
则.
设，则.
.
得在是增函数，在是减函数，
故，所以，即实数的取值范围是.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）当时，若是函数的一个正极大值点，且的最小值为，求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调函数，且，求实数的取值集合.
解：（1）当时，函数取到极大值，有，
解得，当时，取到最小正值，
即，解得.
（2）函数在区间上是单调函数，所以函数的最小正周期，
则，可得，
由，且在区间上是单调函数，所以，
又，所以和相差最小正周期的整数倍或者为极值点，
根据周期范围可得符合题意的有三种情况：
（i），则；
（ii），则；
（iii），则.
所以，的取值集合为.
16. 已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得：，，
于是有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
假设存在正整数m，n，使得成等差数列，
则，
即，整理得，
显然是50的正约数，又，则或25，50.
当时，即时，与矛盾，
当时，即时，，符合题意，
当时，即时，无解
所以存在正整数使得成等差数列，此时.
17. 已知中，点在边BC上，且.
（1）当面积最大时，求值；
（2）当周长最大时，求的面积．
解：（1）当面积最大时，显然，
此时，所以；
（2）设，因为，由余弦定理得：
，化简得：，
设，
得，化简得，所以，
解得，所以周长最大值为，
此时，由余弦定理解得，所以，
所以的面积为.
18. 已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称.
（1）求函数的解析式；
（2）证明：；
（3）若在时恒成立，求实数的取值范围.
（1）解：
（2）证明：的定义域为，设，
，
，得，得，
所以在单调递增，在单调递减，
，所以；
设，
，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，
，所以；
综上所述，成立.
（3）解：
，
设
令，得
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递减，
所以，
所以当时，在时恒成立，
下面证明当时，在时不恒成立，
，
设，
当时，在单调递减，值域是，
当时，，使得，此时，，
即在时不恒成立；
综上所述，实数的取值范围是.
19. 已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值．
（1）数列为，满足：，写出的通项公式；
（2）设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列；
（3）设函数，已知，求函数的值域.
（1）解：由题意得：，当时，，
所以；
（2）证明：充分性：
若是公差为的等差数列，因为，所以是递减数列，
所以，
必要性：
若，假设是第一个使得的项，
则，与矛盾，
所以是递减数列，
所以，
所以数列是公差为的等差数列；
（3）解：因为，所以，且存在，使得，
下面证明，
假设中存在小于1的项，则设是第一个小于1的项，
因为，所以，
因为，所以时，，
所以，
则，与矛盾，
所以，
又因为，所以或，
所以的值域是.